Analyse der Eigenwerte des Teilchens in einer endlichen quadratischen Vertiefung

Die Eigenzustände des Teilchens in einem 1D-Finite-Quadrat-Well-Hamilton-Operator:

$$\begin{align} H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) \end{align}$$

$$\begin{align} V(x) = \begin{cases} -V_0 & \text{if } |x| < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}$$

gehören zu Eigenwerten, die durch den folgenden Ausdruck gegeben sind:

$$\begin{align} E = \frac{\hbar^2 \kappa^2}{2 m a^2} - V_0 \end{align}$$

Wo$\kappa$ist eine beliebige zulässige Lösung der folgenden Gleichung:

$$\begin{align} \tan{\kappa} = \sqrt{\left(\frac{\kappa_0}{\kappa}\right)^2 - 1} \end{align}$$

Und$\kappa_0$ist in Bezug auf die Parameter des Problems gegeben. Man kann es durch Plotten zeigen$\tan{\kappa}$Und$\sqrt{\left(\frac{\kappa_0}{\kappa}\right)^2 - 1}$auf denselben Achsen und Argumentation über die Grenze der Schnittpunkte zwischen den beiden Kurven als$V_0$gegen Unendlich strebt, dass die Grenze der Eigenwerte (die Hälfte) derer für das unendliche Quadrat gut ist.

Es wäre nützlich, einen allgemeineren Näherungsausdruck für die Eigenwerte zu erhalten, und es scheint, dass ein solcher Ausdruck erhalten werden könnte

1. Einfügen eines kleinen Parameters in die Gleichung für$\kappa$

2. Erweitern der zulässigen Werte von$\kappa$als Störungsreihe in einem kleinen Parameter$\epsilon$und über die Grenzlösungen

3. Einsetzen des Ergebnisses in die Gleichung für$\kappa$und erweitern Sie beide Seiten sorgfältig als Taylor-Serie in$\kappa$

4. Auflösen der resultierenden Gleichung für die Koeffizienten der Störungsreihe, indem beide Seiten der Gleichung Term für Term in Potenzen von gleich sein müssen$\epsilon$(und wenn ich Glück habe, fasse ich die Reihe zusammen$\epsilon$

Dies erscheint jedoch aus zwei Gründen unerwünscht

1. Es wäre schön, über die Grenzwerte von argumentieren zu können$\kappa$auf konkretere Weise. Idealerweise könnte man dazu eine Art asymptotische Darstellung der Lösungen verwenden, aber dies kann nicht möglich sein, wenn die Störungsreihe zunächst über die asymptotischen Lösungen genommen wird

2. Es ist unwahrscheinlich, dass die Serie zusammengefasst werden kann$\epsilon$und daher kann eine begrenzte Intuition über die Form der Lösung gewonnen werden. Auch aus diesem Grund sind numerische Lösungen unerwünscht

Daher lautet meine Frage: Gibt es eine andere Technik, um einen ungefähren Ausdruck für ALLE zulässigen Werte zu erhalten?$\kappa$? Ist es so, dass wir nicht wirklich mehr können als eine numerische Lösung?