Kurze Frage zur Störungstheorie

Question

Kurze Frage zur Störungstheorie

Physik
hamiltonisch
Quantenmechanik
Störungstheorie
Schrödinger-Gleichung

Benutzer44840

Angenommen, wir haben ein Teilchen in einem unendlichen Potentialtopf, mit $V(x) = 0,\space 0< x < a$ und überall sonst unendlich.

Nehmen wir nun an, wir haben eine Störung auf der linken Seite des Brunnens: $V_1(x) = v, \space 0 < x < \frac{a}{2}$ .

Nach der Störungstheorie erster Ordnung werden alle Energieniveaus um den gleichen Betrag verschoben:

Δ E = ⟨ E_{N} | v | E_{N} ⟩ = \frac{v}{2}

$\Delta E = \langle E_n|v|E_n\rangle = \frac{v}{2}$

Ok alles ist gut.

Unter Berücksichtigung der gestörten Wellenfunktion:

ψ_{N} = ϕ_{N} + \sum_{N \neq k} \frac{⟨ ϕ_{k} | v_{1} | ϕ_{N} ⟩}{E_{N} - E_{k}}

$\psi_n = \phi_n + \sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k}$

Wie nutze ich die Bedingung, dass $v << E_2 - E_1$ die Ergebnisse oben zu zeigen, ist richtig?

Benutzer44840

Ist nicht

\sum_{n \neq k} \frac{⟨ ϕ_{k} | V_{1} | ϕ_{n} ⟩}{E_{n} - E_{k}} = 0

$\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} = 0$ ? Da Zustände orthogonal sind?

Ruslan

V_{1}

$V_1$ Änderungen

| ϕ_{n} ⟩

$|\phi_n\rangle$ , also ist das Produkt im Allgemeinen nicht mehr orthogonal zu

| ϕ_{k} ⟩

$|\phi_k\rangle$ .

Benutzer44840

V_{1} (x) = v

$V_1 (x) = v$ ist eine Konstante, also denke ich, dass es aus dem BH und Ket herausgenommen werden kann

Ruslan

Punktprodukt macht keinen Sinn, wenn Sie nur über einen Teil des Konfigurationsraums integrieren. In diesem Fall erhalten Sie keine Orthogonalität. Probieren Sie einfach aus, ob z

\sin 2 π x

$\sin 2\pi x$ ist orthogonal zu

\sin π x

$\sin \pi x$ An

x \in [0, 1]

$x\in[0,1]$ . Es ist nicht, obwohl auf

x \in [0, π]

$x\in[0,\pi]$ es ist.

Davidmh

V_{1}

$V_1$ ist nicht konstant, es ist

v

$v$ für

x < a / 2

$x<a/2$ Und

0

$0$ ansonsten. Dies bedeutet, dass das Integral von

ϕ_{k}

$\phi_k$ mit

ϕ_{n}

$\phi_n$ geht nur ab

0

$0$ Zu

a / 2

$a/2$ , und Orthogonalität ist nicht garantiert.

Benutzer44840

Ok, ich habe die falschen Grenzen verwendet. Ja,

ϕ_{1}

$\phi_1$ Und

ϕ_{2}

$\phi_2$ sind nicht orthogonal, da die Grenzen von 0 bis a/2 gehen.

Benutzer44840

Darf ich das nur so sagen

v << E_{2} - E_{1}

$v << E_2 - E_1$ ,

\sum_{n \neq k} \frac{⟨ ϕ_{k} | V_{1} | ϕ_{n} ⟩}{E_{n} - E_{k}} \approx 0

$\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} \approx 0$ ? Also die erwartete Energie

⟨ E ⟩ = ⟨ ϕ_{n} | H + V_{1} | ϕ_{n} ⟩ = E_{n} + \frac{v}{2}

$\langle E \rangle = \langle \phi_n |H + V_1|\phi_n\rangle = E_n + \frac{v}{2}$ was ergibt die gleiche Verschiebung wie oben?

xebtl

Warum erwarten Sie, es allein durch diesen Ausdruck zeigen zu können? Sie müssten das ganze Problem lösen und dann in linearer Reihenfolge zeigen, dass das PT-Ergebnis korrekt ist …

Antworten (1)

Kurze Frage zur Störungstheorie

Ist nicht $\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} = 0$ ? Da Zustände orthogonal sind?
$V_1$ Änderungen $|\phi_n\rangle$ , also ist das Produkt im Allgemeinen nicht mehr orthogonal zu $|\phi_k\rangle$ .
$V_1 (x) = v$ ist eine Konstante, also denke ich, dass es aus dem BH und Ket herausgenommen werden kann
Punktprodukt macht keinen Sinn, wenn Sie nur über einen Teil des Konfigurationsraums integrieren. In diesem Fall erhalten Sie keine Orthogonalität. Probieren Sie einfach aus, ob z $\sin 2\pi x$ ist orthogonal zu $\sin \pi x$ An $x\in[0,1]$ . Es ist nicht, obwohl auf $x\in[0,\pi]$ es ist.
$V_1$ ist nicht konstant, es ist $v$ für $x<a/2$ Und $0$ ansonsten. Dies bedeutet, dass das Integral von $\phi_k$ mit $\phi_n$ geht nur ab $0$ Zu $a/2$ , und Orthogonalität ist nicht garantiert.
Ok, ich habe die falschen Grenzen verwendet. Ja, $\phi_1$ Und $\phi_2$ sind nicht orthogonal, da die Grenzen von 0 bis a/2 gehen.
Darf ich das nur so sagen $v << E_2 - E_1$ , $\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} \approx 0$ ? Also die erwartete Energie $\langle E \rangle = \langle \phi_n |H + V_1|\phi_n\rangle = E_n + \frac{v}{2}$ was ergibt die gleiche Verschiebung wie oben?
Warum erwarten Sie, es allein durch diesen Ausdruck zeigen zu können? Sie müssten das ganze Problem lösen und dann in linearer Reihenfolge zeigen, dass das PT-Ergebnis korrekt ist …

xebtl · Answer 1

Es ist tatsächlich ein interessantes Problem, das Sie ansprechen, also lassen Sie mich versuchen, meinen Kommentar ein wenig zu erweitern.

Im Allgemeinen ist das Programm zum „Zeigen, dass die Störungstheorie (PT) [erster Ordnung] funktioniert“ das folgende:

Löse das gestörte Problem exakt und erhalte Lösungen $H\psi_n = E_n\psi_n$ .
Differenzieren Sie die Ergebnisse durch den Störungsparameter, dh berechnen Sie $dE_n/dv$ Und $d\psi_n(x)/dv$ .
Vergleichen Sie dies mit den PT-Ergebnissen $E_n^{(1)}$ Und $\psi_n^{(1)}(x)$ .

Im vorliegenden Fall wird dies analytisch nicht möglich sein. Schreiben Sie einen Ansatz für die vollständige Lösung, aufgeteilt in zwei Bereiche, (L) $V(x)=v$ , und (R) $V(x)=0$ . Wie beim regulären unendlichen Potentialtopf kann man für jeden Bereich eine der linear unabhängigen Lösungen durch die Randbedingungen eliminieren $\psi_L(0) = \psi_R(a) = 0$ .

Sie haben drei Parameter (eine „Amplitude“ für jede Region und die Energie) und drei Beziehungen, um sie zu fixieren ( $\psi_R(a/2) = \psi_L(a/2)$ , $\psi'_R(a/2) = \psi'_L(a/2)$ , $\int\!dx\,\psi(x) = 1$ ). Im Prinzip einfach genug, aber in diesem Fall nicht analytisch lösbar, weil die Energie durch eine implizite transzendente Gleichung gegeben ist.

Der Grund, warum ich sage, dass Ihr Problem interessant ist, ist, dass, wenn Sie zunehmen $v$ , wird es den Charakter der tiefer liegenden Staaten verändern. Im ungestörten Fall sind alle Zustände „oszillierend“, wenn auch an den Rändern abgeschnitten. Im gestörten Fall wird dies auf der rechten Seite immer noch der Fall sein, aber einmal $v$ groß genug ist, erhalten Sie Zustände, die nach links exponentiell abfallen. Eine vernünftige Vermutung wäre, dass PT für diese Zustände zusammenbricht.

Wie für $V_{nm} = \langle\phi_n|V|\phi_m\rangle$ und Orthogonalität: Die $\phi$ gerade/ungerade Funktionen in Bezug auf die Vertiefungsmitte sind. Teilen Sie das Integral $\langle\phi_n|\phi_m\rangle = \int_0^a\!dx\phi_n\phi_m = L + R$ in zwei Teile entsprechend linker und rechter Seite. Wie du sagst, $L + R = 0$ ; Und $V_{nm} = vL$ . Wenn $n$ Und $m$ gleiche Parität haben, $L=R$ und so $V_{nm} = 0$ ; aber wenn die Parität anders ist, $L=-R$ Und $V_{nm}$ ist ungleich Null.

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Ruslan

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Ruslan

Davidmh

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xebtl

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xebtl

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