Lösung von QM-Aufgaben unter Verwendung von Asymptotik

Wenn wir QM-Aufgaben lösen, indem wir die Schrödinger-Gleichung lösen, wie etwa Aufgaben zu einem Teilchen in einem Morse-Potential, einem Poschl-Teller-Potential und vielen anderen, finden wir normalerweise Annäherungen (nennen wir sie als$f_{i}(x_{j})$) der Wellenfunktion$\Psi (x_{j})$in Gleichgewichtspunkten$x_{i}$. Dann tauschen wir aus$\Psi (x_{j}) = \psi(x_{j})\prod_{i}f_{i}(x_{i})$in die Schrödinger-Gleichung und erhalten dann in den meisten Fällen auf magische Weise eine hypergeometrische Gleichung für$\psi (x_{j})$(oder so ähnlich wie diese Gleichung; wenn nicht, können wir die Gleichung durch einfache Substitution auf eine hypergeometrische reduzieren).

Ich verstehe nicht, warum es funktioniert. Manchmal scheint es ähnlich zu sein, die Lösung in Form einer verallgemeinerten Reihe zu finden, aber in den anderen Fällen kann ich keine entsprechende Interpretation finden. Ich mag keine Interpretation, die sich auf eine Idee bezieht$\psi (x_{j})$vernetzt Asymptotik, weil es zu abstrakt ist und nicht erklärt, warum die Methode in den meisten Fällen (wie bei mir) funktioniert. Was ist also die Erklärung?

Vielleicht hängt es mit einer strengen Methode zusammen, die Gleichung auf einen hypergeometrischen Typ zu bringen? Aber wie genau?