Was für eine Differentialgleichung ist die Schrödinger-Gleichung? Homogen oder inhomogen?

Wir wissen, dass die Schrödinger-Gleichung ist H ^ | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩ . Wenn wir den Hamiltonian schreiben H ^ als P ^ 2 2 M + v ( X ) und dann verwenden P ^ = − ich ℏ ∂ X Wir können diese Gleichung in Positionsbasis schreiben als:

(1) [ ∇ 2 + 2 M ℏ 2 ( E − v ( X ) ) ] Ψ ( X ) = 0
Jetzt können wir Gleichung (1) umstellen, um sie zu schreiben als:
(2) [ ∇ 2 + 2 M ℏ 2 E ] Ψ ( X ) = 2 M ℏ 2 v ( X ) Ψ ( X )
Gleichung (1) ist eine homogene Gleichung, die analytisch exakt gelöst werden kann [zB für Wasserstoffatom also 1 Elektron im Potentialfeld von 1 Proton].
Gleichung (2) ist nur die umgeordnete Version von Gleichung (1). Aber es hat die Form einer inhomogenen Gleichung. Dies kann durch die Green-Funktionsmethode gelöst werden und die Lösung sieht folgendermaßen aus:
(3) Ψ ( X ) = Ψ 0 ( X ) + 2 M ℏ 2 ∫ D X G 0 ( X ) v ( X ) Ψ ( X )
Wo Ψ 0 ( X ) ist die Lösung des homogenen Anteils " [ ∇ 2 + 2 M ℏ 2 E ] Ψ 0 ( X ) = 0 " von Gleichung (2) und G 0 ( X ) ist die Greensche Funktion des Operators " [ ∇ 2 + 2 M ℏ 2 E ] ". Nun, um den Ausdruck zu finden Ψ ( X ) aus Gleichung (3) müssen wir die Born-Näherung verwenden und dann weiß ich nicht, ob wir die exakte Lösung erreichen können, die wir durch analytisches Lösen von Gleichung (1) erhalten.

Meine Fragen sind:

(A) Da Gleichung (1) und Gleichung (2) dieselbe Gleichung sind, aber leicht umgeordnet, sollten sie dieselbe Lösung haben, sagen wir für das Problem des Wasserstoffatoms. Ist es möglich, die gleiche Lösung aus diesen 2 Gleichungen zu erreichen?

(B) Warum wir niemals die inhomogene Gleichung (Gl. 2) für das Problem des Wasserstoffatoms lösen.

(C) Aber warum wir die inhomogene Gleichung (Gl. 2) für das Streuproblem lösen.

(D) Warum wir die homogene Gleichung (Gl. 1) nicht für das Streuproblem lösen.

(E) Allgemein gesagt: Was ist der grundlegende Unterschied zwischen einer homogenen und einer inhomogenen Differentialgleichung und woher weiß man, welche in welcher physikalischen Situation zu lösen ist?

Antworten (1)

Eine lineare Differentialgleichung ist homogen, wenn sie in eine Form geschrieben werden kann

L ^ Ψ ( X , T ) = 0 ,
Wo L ^ ist ein Differentialoperator, möglicherweise mit partiellen Ableitungen und Funktionen, aber unabhängig davon Ψ ( X , T ) , da sonst die Gleichung nichtlinear wäre. Inhomogene Gleichung hätte Form
L ^ Ψ ( X , T ) = F ( X , T ) ,
Wo F ( X , T ) ist eine andere Funktion als Ψ ( X , T ) .

Somit ist die Schrödinger-Gleichung (zeitabhängig und zeitunabhängig) eine homogene Gleichung, da sie immer neu angeordnet werden kann, um die homogene Form zu haben.

Eine populärere Methode zur Lösung der Schrödinger-Gleichung, die als Störungsexpansion bekannt ist, basiert darauf, diese Gleichung als inhomogen zu behandeln, indem ein Teil dieser Gleichung so getrennt wird, als wäre er ein externer Term F ( X , T ) . Durch Lösen des homogenen Teils dieser Gleichung wird sie in eine Integralgleichung umgewandelt, die dann unendlich oft iteriert werden kann, um eine formal exakte Lösung der vollständigen Gleichung zu erhalten. In der Praxis wird diese Lösung entweder a) in einer bestimmten Ordnung umgerechnet ( Störungstheorie ) oder b) formal verwendet, um nützliche Beziehungen zu erhalten (Streuungstheorie), oder c) man kann nur Teilreihen dieser Lösung summieren (Feynmann-Dyson-Entwicklung u verwandte Methoden).

Bei der Gleichung für ein Wasserstoffatom muss auf keine dieser Methoden zurückgegriffen werden, da sie exakt lösbar ist. Man kann sie jedoch verwenden, wenn es eine zusätzliche Störung gibt , zB um Wasserstoffatome im Magnetfeld zu untersuchen. On könnte auch versuchen, das Coulomb-Potential als Störung eines nicht wechselwirkenden Teilchens zu behandeln und möglicherweise die Störungsreihe zu summieren, aber dies ist ein unnötig schwieriger Weg.

In ähnlicher Weise ist die Schrödinger-Gleichung für einige Streuungsprobleme exakt lösbar und erfordert keine Verwendung von Näherungsmethoden. Die in der elementaren Quantenmechanik behandelte Streuung an einer rechteckigen Barriere ist nur ein Beispiel.

Danke für die Antwort. Wenn wir von einem zentralen Potential aus streuen, folgen wir der inhomogenen Gleichungswurzel. Warum? Geht das auch in der homogenen Gleichungswurzel? (Wenn möglich, beantworten Sie diese Frage bitte, indem Sie Ihre Antwort oben bearbeiten. Ihre Antwort ist bereits sehr ansprechend und die Antwort auf diesen Teil wird sie vollständiger machen.)
Wie ich zu erklären versuchte, lösen wir Gleichungen mithilfe von Störungsreihen oder anderen Näherungsmethoden, wenn eine exakte Lösung unmöglich oder schwierig zu handhaben ist. Die meisten Differentialgleichungen können nicht exakt gelöst werden. Ich bin mir nicht sicher, was Sie "Wurzel" nennen ... Es scheint, dass Ihnen der richtige mathematische Hintergrund in Differentialgleichungen (insbesondere partiellen Differentialgleichungen) fehlt, und ich empfehle Ihnen dringend, mehr darüber zu erfahren - dies würde die meisten Ihrer Fragen beantworten.
Sie haben Recht mit meiner PDE-Vertrautheit. "root" war das falsche Wort, das ich benutzt habe. Ich wollte sagen, "warum es durch Lösen inhomogener Gleichungen gemacht wurde". Jetzt ist es aus Ihrem Kommentar hinreichend klar. Danke
Was für eine Differentialgleichung ist die Schrödinger-Gleichung? Homogen oder inhomogen?
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