Schwache Lösung der Schrödinger-Gleichung

Stellen Sie sich ein Teilchen in einer Kiste vor Λ = [ 0 , L ] . Die Wellenfunktion ψ ∈ L D 2 ( Λ ) Wo D bezeichnet eine Dirichlet-Bedingung ψ ( 0 ) = 0 = ψ ( L ) . Das haben wir dann

− ℏ 2 2 M D 2 ψ D X 2 = E ψ

in der Box. Lösen Sie diese Gleichung,

ψ M ( X ) = 2 / L Sünde ⁡ ( N π X / L ) .

Betrachten Sie nun eine schwache Formulierung dieses Problems:

ℏ 2 2 M ∫ 0 L D ψ D X D φ D X D X = E ∫ 0 L ψ φ D X

so dass φ ∈ H 0 1 ( Λ ) . Ist es möglich, eine analytische Lösung für diese Gleichung zu finden? Wenn ja, wie kann man generell vorgehen, um Lösungen schwacher Formulierungen zu finden?

Was meinst du für L D 2 ( Λ ) ? Ist es anders als L 2 ( Λ ) ? Randbedingungen verändern den Hilbertraum nicht...
Es ist nur so, dass die Wellenfunktion drin ist L 2 ( Λ ) Und ψ hat Dirichlet-Bedingungen ψ ( 0 ) = 0 = ψ ( L ) . Also ich sage das nur ψ ist in L 2 im Intervall Λ Und ψ ( 0 ) = 0 = ψ ( L ) .
Seit ψ ist bis auf null definiertes maß gesetzt sagt nicht viel aus. Es gibt keinen Hilbert-Raum aus Funktionen, die an der Grenze eines Intervalls verschwinden. Randbedingungen können stattdessen verwendet werden, um den Definitionsbereich Ihres Hamilton-Operators zu definieren ...

Antworten (1)

Elliptische Regelmäßigkeit impliziert dies ψ lässt schwache Ableitungen jeder Ordnung zu, die sind L 2 örtlich. Nun impliziert das Lemma von Sobolev, dass diese Derivate Standardderivate sein müssen. Zusammenfassend ist jede schwache Lösung nur die Standardlösung ψ M .

Was aber, wenn mein Problem nur schwache Lösungen hat und ich so eine schwache Formulierung bekomme? Kann man solche Probleme analytisch lösen?
Normalerweise sind die Lösungen nur schwach, weil der Definitionsbereich der Operatoren nicht aus glatten Funktionen besteht, wenn sie selbstadjungiert sind. Wenn das Potential jedoch relativ regelmäßig ist, gibt es bekannte Ergebnisse (im Wesentlichen ein Satz von Weyl), die belegen, dass die Wellenfunktionen außerhalb des Satzes von Singularitäten des Potentials glatt sind.
@Valter Moretti: Würde es Ihnen etwas ausmachen, einen Verweis auf dieses Theorem zu posten, bitte? Ich habe nur die für die Laplace-Gleichung gefunden.
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