Warum müssen Energieeigenzustände beschränkt sein?

Vergiss nicht, dass wir in einem Hilbert-Raum arbeiten -$L^2(\mathbb R)$, in diesem Fall. Die Betreiber$\hat A$kann nur auf Elemente in wirken$L^2(\mathbb R)$, aber ihre Domänen sind in der Regel weiter auf diese beschränkt$\psi \in L^2(\mathbb R)$so dass$\Vert A \psi \Vert^2 < \infty$und für allgemeinere Hilbert-Räume noch durch Randbedingungen.

Mathematisches Zwischenspiel

Wie in den Anmerkungen erwähnt, ist dies eine ziemlich restriktive Anforderung. In vielen Fällen erweist es sich als äußerst sinnvoll, diesen Begriff etwas zu erweitern, indem man Distributionen weiter betrachtet$L^2(\mathbb R)$. Eine Verteilung$^\dagger$ist ein Objekt, das ein Element von isst$L^2(\mathbb R)$und spuckt eine komplexe Zahl aus und kann typischerweise geschrieben werden als

für irgendeine Funktion$\phi$, den wir den Kern der Distribution nennen könnten (aber normalerweise sind wir schlampig und nennen ihn einfach "die Distribution$\phi$"). In diesem Ausdruck$\psi$gehören muss$L^2(\mathbb R)$, aber die Einschränkungen auf$\phi$sind lockerer. Natürlich,$\phi$ könnte ein Element von sein$L^2(\mathbb R)$, in diesem Fall reduziert sich dieser Ausdruck auf das Skalarprodukt$\langle \phi,\psi\rangle$, aber das ist nicht immer der Fall; insbesondere,$\phi$muss im Allgemeinen nicht normalisierbar sein. Insbesondere Deltafunktionen$^{\dagger\dagger}$ $\delta(x-x_0)$und ebene Wellen$e^{ikx}$sind gängige Distributionskerne.

Danach können wir die Aktion eines selbstadjungierten Operators definieren$\hat A$An$\phi$folgendermaßen:

Operatoren wie die Orts- und Impulsobservablen haben eigentlich keine Eigenvektoren$L^2(\mathbb R)$, aber wenn wir sie auf diese Weise erweitern, stellt sich heraus, dass sie "verallgemeinerte Eigenvektoren" haben, die Verteilungen sind ( die Delta-Funktionen bzw. ebenen Wellen).

Das ist natürlich zu viel Mathematik für einen ersten Durchgang durch die Quantenmechanik. In der Praxis kann dies wie folgt destilliert werden:

1. Observable mit kontinuierlichen Spektren haben keine Eigenvektoren in$L^2(\mathbb R)$(das heißt, sie haben keine normalisierbaren Eigenvektoren), aber wenn wir ihnen erlauben, auf Verteilungen zu wirken (die nicht die Normalisierbarkeitsanforderung haben), dann haben sie verallgemeinerte Eigenvektoren .
2. Damit dieses Verfahren wohldefiniert ist, benötigen wir bestimmte Regelmäßigkeitsanforderungen an die Verteilungen. Sie müssen nicht normalisierbar sein, aber das müssen wir haben$D_{\hat A\phi}[\psi] = D_\phi[\hat A\psi] = \lambda D_\phi[\psi]$ist für alle endlich$\psi$im Bereich von$\hat A$.
3. Es stellt sich heraus, dass die richtigen Entscheidungen für die Regularitätsanforderungen des Hamiltonoperators getroffen werden$\hat H = -\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$sind die Beschränktheit der Verteilung und ihrer ersten Ableitung gemäß den Anmerkungen.

$^\dagger$Der Vollständigkeit halber betrachten wir normalerweise temperierte Verteilungen, die nur auf eine sehr gut erzogene Teilmenge wirken$L^2(\mathbb R)$. Siehe den vorletzten Absatz in der Einleitung dieses Wikipedia-Artikels . Ich bin jedoch der Meinung, dass dieses Detail zu weit von der ursprünglichen Frage entfernt ist, um notwendig zu sein.

$^{\dagger\dagger}$Wie von TBissinger angemerkt, ist die Delta-Funktion eigentlich keine Funktion. Stattdessen wird die Deltaverteilung über definiert

Das heißt, es ist die Verteilung, die die Funktion an einem Punkt einfach auswertet. Damit dies wie andere Distributionen aussieht, die Kernel haben, definieren wir die "Delta-Funktion" und schreiben

und das einfach notieren$\delta(x-x_0)$ist ein rein formales Symbol, das nicht als Funktion im üblichen Sinne aufzufassen ist.

Eigenzustände sind resonante Stehwellenmuster. Stehende Wellen treten mit Grenzen auf.