Ermitteln der Energieeigenwerte von Wasserstoff mit dem WKB-Ansatz

Question

Ermitteln der Energieeigenwerte von Wasserstoff mit dem WKB-Ansatz

Mula Ko Saag

Ich brauche Hilfe, um die Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms mit dem WKB-Ansatz zu finden . Soweit ich weiß, ist die Radialgleichung gegeben durch

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{R^{2}} \frac{\partial}{\partial R} (R^{2} \frac{\partial R (R)}{\partial R}) + \frac{2 μ}{ℏ^{2}} (E - v (R) - \frac{ℓ (ℓ + 1) ℏ^{2}}{2 μ R^{2}}) R (R) = 0 \end{matrix}

$\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r}\right) + \frac{2 \mu}{\hbar^2} \left( E - V(r) - \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)R(r) = 0 \tag{1}$

auch kenne ich die Relation, für Gleichung der Form

\begin{matrix} (2) & u^{″} (X) + k (X)^{2} u (X) = 0 \end{matrix}

$u''(x) + k(x)^2 u(x) = 0 \tag{2}$

die Lösung ist von der Form (z $E<V$ )

\begin{matrix} (3) & u (X) = \frac{C_{1}}{\sqrt{k (X)}} Sünde (\int^{X} k (X) D X) + \frac{C_{2}}{\sqrt{k (X)}} \cos (\int^{X} k (X) D X) \end{matrix}

$u(x) = \frac{C_1}{\sqrt{k(x)}} \sin \left( \int^x k(x) dx\right) + \frac{C_2}{\sqrt{k(x)}} \cos \left( \int^x k(x) dx\right)\tag{3}$

sowie die Relation

\begin{matrix} (4) & \oint ℏ k (X) D X = (N + \frac{1}{2}) π ℏ . \end{matrix}

$\oint \hbar k(x) dx = \left( n + \frac 1 2 \right) \pi \hbar. \tag{4}$

Ich habe die Lösung auf einer Notiz im Unterricht geschrieben, aber sie ist kaum verständlich. Wie transformiere ich gleichung $(1)$ zur Gleichung $(2)$ und was verwende ich für die Integrationsgrenzen in der Gleichung $(4)$ um den Energieeigenwert zu erhalten?

Ich habe eine ähnliche Frage für einen harmonischen Oszillator gestellt, bei dem die Integrationsgrenzen in der Gleichung liegen $(4)$ Ist $\pm$ Wendepunkte (Lösung von $E(x) = V(x)$ ) bin mir aber bei diesem nicht sicher.

HINZUGEFÜGT:: Ändern $R(r) = u(r)/r$ ändert sich in

\begin{matrix} (5) & \frac{D^{2} u (R)}{D R^{2}} + \frac{2 μ}{ℏ^{2}} (E - v (R) - \frac{ℓ (ℓ + 1) ℏ^{2}}{2 μ R^{2}}) u (R) = 0. \end{matrix}

$\frac{d^2u(r)}{dr^2} + \frac{2 \mu}{\hbar^2} \left( E - V(r) - \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)u(r) = 0. \tag{5}$

Ändern $V = -e^2/r$ gibt

\begin{matrix} (6) & \int_{R_{M ich N}}^{R_{M A X}} \sqrt{2 μ (E + \frac{e^{2}}{R} - \frac{ℓ (ℓ + 1) ℏ^{2}}{2 μ R^{2}})} D R = (N + \frac{1}{2}) ℏ π . \end{matrix}

$\int_{R_{min}}^{R_{max}} \sqrt{2 \mu \left( E + \frac{e^2}{r}- \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)}dr = \left( n + \frac 1 2\right) \hbar \pi.\tag{6}$

Wofür wähle ich nun meine Grenzen? $r$ ? Die endgültige Antwort wird als gegeben

\begin{matrix} (7) & E_{N} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{μ e^{4}}{ℏ^{2} (N + ℓ + 1)^{2}} . \end{matrix}

$E_n = - \frac 1 2 \cdot \frac{\mu e^4}{\hbar^2 (n + \ell+1)^2}.\tag{7}$

gatsu

Um von (1) nach (2) zu gelangen, versuchen Sie, die Gleichung für zu finden

u (r)

$u(r)$ wenn es so etwas wie

R (r) \equiv \frac{u (r)}{r}

$R(r) \equiv \frac{u(r)}{r}$ .

Antworten (3)

Ermitteln der Energieeigenwerte von Wasserstoff mit dem WKB-Ansatz

Um von (1) nach (2) zu gelangen, versuchen Sie, die Gleichung für zu finden $u(r)$ wenn es so etwas wie $R(r) \equiv \frac{u(r)}{r}$ .

Modell · Answer 1

Das Wasserstoffpotential

Die Grenzen für r sollten immer noch die klassischen Wendepunkte sein, wie Sie es für den harmonischen Oszillator erwähnt haben. Vermutlich befinden Sie sich in einem gebundenen Zustand von Wasserstoff, dh Sie haben eine Energie der Form $\frac{-13.6 eV}{n^2}$ für eine ganze Zahl n. Das Problem reduziert sich dann darauf, die Nullstellen der Gleichung zu finden

\frac{- 13.6 e v}{N^{2}} = - \frac{e}{R^{2}} - \frac{l (l + 1) ℏ^{2}}{2 μ R^{2}}

$\frac{-13.6 eV}{n^2} = -\frac{e}{r^2} - \frac{l(l+1) \hbar^2}{2 \mu r^2}$ als Funktion von r.

BEARBEITEN: gs-Energie von -13,6 MeV auf -13,6 eV geändert. Danke an Ruslan für den Hinweis auf den Fehler.

Aksakal ist mit ziemlicher Sicherheit binär · Answer 2

Wie transformiere ich Gleichung (1) in Gleichung (2)

Stecker $R(r)=u(r)/r$ in (1) erhalten Sie sofort (2), wo $k(x)$ würde der Ausdruck vorher $R(r)$ im zweiten Term von (2)

und was verwende ich für die Integrationsgrenzen in Gleichung (4), um den Energieeigenwert zu erhalten?

$\int_0^\infty$

LC7 · Answer 3

Sie haben es mit Aktionsvariablen zu tun, sodass die Integrationen extrem immer durch die klassische Trajektorie gegeben sind. Für das Wasserstoffatom im gebundenen Zustand sind sie also doppelt so groß wie der Abstand zwischen R1 und R2.

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Mula Ko Saag

gatsu

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Modell

Ruslan

Aksakal ist mit ziemlicher Sicherheit binär

LC7

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