Quasiklassische QM für zentralsymmetrische Felder

I) Setzen wir der Einfachheit halber die physikalischen Konstanten$\hbar=1=m$zu einem. OP erwägt die übliche Transkription$u(r)\equiv rR(r)$des 3D-Radial- TISE in ein 1D-TISE,

$$- \frac{1}{2} u^{\prime\prime}(r)+U_{\ell}(r)u(r) ~=~E u(r),\tag{A}$$

wo die gesamte potentielle Energie

$$U_{\ell}(r)~:=~ U(r) + \frac{C_{\ell}}{2r^2} \tag{49.8b}$$

ist eine Summe einer zentralen potentiellen Energie$U(r)$und eine zentrifugale potentielle Energie$\frac{C_{\ell}}{2r^2}$. Hier und unten beziehen sich die Gleichungsnummern auf Lit. 1. Die Konstante

$$C_{\ell}~:=~\ell (\ell +1)~=~\left(\ell+\frac{1}{2}\right)^2 -\frac{1}{4} \tag{B}$$

in Gl. (49.8b) ist der Eigenwert der$\hat{L}^2$Operator.

II) Wir untersuchen einen gebundenen Zustand, in dem der Drehimpuls$\ell>0$ist ungleich Null.

Uns interessiert die Situation, wo die zentrifugale potentielle Energie numerisch vollständig dominiert [und das Potential$U(r)$kann ignoriert werden] in einer Nachbarschaft$[0,r_0+\epsilon[$des klassisch verbotenen Intervalls$[0,r_0[$, Wo$r_0$bezeichnet den inneren radialen Wendepunkt. Mit anderen Worten,

$$E~\approx~\frac{C_{\ell}}{2r_0^2}. \tag{C}$$

Wir wollen auch, dass die semiklassische WKB-Approximation im Intervall gültig ist$[0,r_0[$(vom Wendepunkt weg). Der semiklassische Zustand

$$|\lambda^{\prime}(r)|~\ll~ 1 \tag{46.6}$$

impliziert, dass

$$\ell ~\gg~ 1.\tag{D}$$

III) Der (absolute Wert des) Impulses ist

$$\begin{align} p(r)~:=~&\sqrt{2\left|E - U_{\ell}(r)\right|}\cr ~\approx~&\sqrt{C_{\ell}\left|r^{ - 2} - r_0^{-2}\right|} \quad\text{for}\quad r\in[0,r_0+\epsilon[, \end{align} \tag{46.5}$$

Wo

$$\sqrt{C_{\ell}} ~\stackrel{(B)}{=}~\ell+\frac{1}{2}-\frac{1}{8\ell}+{\cal O}(\ell^{-2}). \tag{E}$$

Die halbklassischen Verbindungsformeln ergeben

$$u(r)~\approx~\frac{c}{\sqrt{p(r)}}\exp\left[ \int_{r}^{r_0} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime})\right] \quad\text{for}\quad r~<~ r_0, \tag{F}$$

$$\begin{align} u(r)~\approx~&\frac{c}{\sqrt{p(r)}}\cos\left[ \int_{r_0}^{r} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime})-\frac{\pi}{4}\right]\cr ~=~&\frac{c}{\sqrt{p(r)}}\sin\left[ \int_{r_0}^{r} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime})+\frac{\pi}{4}\right] \quad\text{for}\quad r~>~ r_0, \end{align} \tag{48.1}$$

Wo$c\in\mathbb{C}$.

IV) Die semiklassische Näherung (F) verhält sich wie

$$u(r)~\propto~ r^{\sqrt{C_{\ell}}+\frac{1}{2}}\quad\text{for}\quad r~\to~ 0^{+}, \tag{G}$$

während das bekannte genaue Verhalten ist

$$u(r)~\propto~ r^{\ell+1}\quad\text{for}\quad r~\to~ 0^{+}. \tag{32.15}$$

Daher würde die semiklassische Näherung am Ursprung das richtige Verhalten haben$r=0$wenn wir (E) durch ersetzen$\ell+\frac{1}{2}$.

V) Alternativ im freien Fall$U(r)=0$, verhält sich die semiklassische Näherung (48.1) wie$^1$

$$u(r)~\propto~\sin\left[\sqrt{C_{\ell}}\left(\frac{r}{r_0}-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{4}\right] \quad\text{for}\quad r~\to~\infty, \tag{H}$$

während das bekannte genaue Verhalten ist

$$u(r)~\propto~\sin\left[\sqrt{C_{\ell}}\frac{r}{r_0}-\ell\frac{\pi}{2}\right] \quad\text{for}\quad r~\to~\infty. \tag{33.12}$$

Dies legt wiederum nahe, (E) durch zu ersetzen$\ell+\frac{1}{2}$.

Verweise:

1. LD Landau & EM Lifshitz, QM, Bd. 3, 3. Auflage, 1981;$\S49$.

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$^1$Impulsintegral wird

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{C_{\ell}}} \int_{r_0}^{r} \! dr^{\prime}~p(r^{\prime}) ~=~&\int_1^{\frac{r}{r_0}} \! \frac{dx}{x}\sqrt{x^2-1}\cr ~=~&\left[ \sqrt{x^2-1}+\arctan\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \right]_{x=1}^{x=\frac{r}{r_0}}\cr ~\approx~&\frac{r}{r_0}-\frac{\pi}{2}\quad\text{for}\quad r~\to~\infty. \end{align} \tag{I}$$