WKB und Virial Theorem Widerspruch bei der Bestimmung von gebundenen Zuständen

Stellen Sie sich ein Potenzial vor, das sich irgendwann auf der linken Seite befindet X = X ∗ > 0 ist unendlich und rechts von diesem Punkt hat es die Form

v ( X ) = − a X − 3 .

Ich habe versucht, die WKB-Methode zu verwenden, um die Quantenzahl zu bestimmen N des letzten gebundenen Zustands. Da das Potential eine starre Wand hat, verwende ich die Quantisierung:

∫ X ∗ B P ( X ) D X = ∫ X ∗ B 2 M ( E − v ( X ) D X = ( N + 3 4 ) π ℏ .

Ich nehme die Grenze, in der E → 0 Und B → ∞ Wo B ist der Punkt, an dem die potentielle Energie gleich der kinetischen Energie ist. Nachdem ich das Integral gemacht habe, bekomme ich das folgende Ergebnis, dass die Quantenzahl des letzten gebundenen Zustands ist:

N M A X = 2 X ∗ M A π ℏ − 3 4 .

Nach meinem Verständnis ist dies ein Beweis dafür, dass gebundene Zustände existieren, da Sie Schritt für Schritt nach unten gehen und die Quantenzahl für die anderen gebundenen Zustände herausfinden können (vorausgesetzt, die Masse und a Parameter geben einen sinnvollen N M A X )

Ich habe einen anderen Ansatz ausprobiert, um zu sehen, ob ich das gleiche Ergebnis erhalte oder zumindest beweise, dass es tatsächlich gebundene Zustände gibt. Unter Verwendung des Virialsatzes

2 T = − 3 v
für den Grundzustand:

E = v + T = 1 3 T > 0

das bedeutet also keine gebundenen Zustände für dieses Potential, da der Grundzustand die niedrigste Energie hat.

Offensichtlich mache ich etwas falsch, da beide Aussagen nicht gleichzeitig wahr sein können, aber ich kann nicht finden, was an meinem Denken falsch ist und warum diese Ergebnisse tatsächlich falsch sind.

Antworten (1)

  1. In dieser Antwort werde ich die semiklassische WKB-Näherung nicht berücksichtigen, was an sich schon eine schöne Übung ist.

  2. Stattdessen möchte ich ein oder zwei Worte zum Virialsatz sagen . Die unendliche Wand bei X = X ∗ > 0 effektiv bedeutet, dass das Potenzial von OP v ( X ) ist kein Potenzgesetz, und daher ist das Argument von OP nicht gültig.

  3. Dennoch ist es interessant, stattdessen eine Situation mit einem attraktiven Potenzgesetzpotential zu betrachten

    (1) v ( X )   =   S G N ( a ) A | X | a , a   ∈   R , A   >   0.
    Wenn das Virial
    (2) G   :=   X P
    ist im Phasenraum beschränkt,
    (3) C Ö N S T   >   | G |   ∼   | X | E − v ( X ) ,
    der klassische Virialsatz sagt das dann aus
    (4) a 2 ⟨ v ⟩   = ( 1 )   ⟨ T ⟩   ≥   0 ,
    damit die Energie ist
    (5) ⟨ H ⟩   =   ⟨ T ⟩ + ⟨ v ⟩   = ( 4 )   ( 1 + 2 a ) ⟨ T ⟩ .
    Es gibt 5 Fälle:

    • a > 0 : Das Virial (2) ist beschränkt (3). Die Energie ⟨ H ⟩ ≥ 0 .

    • a = 0 : Freies Teilchen. Die Energie ⟨ H ⟩ = ⟨ T ⟩ ≥ 0 .

    • − 2 < a < 0 : Das Virial (2) ist beschränkt (3), wenn wir davon ausgehen, dass die Energie ⟨ H ⟩ ≡ E < 0 ist negativ. Wenig überraschend stimmt dies mit Gl. (5).

    • a < − 2 : Das Virial (2) ist nicht beschränkt (3), daher gilt der klassische Virialsatz nicht. Daher die naive Schlussfolgerung ⟨ H ⟩ ≥ 0 aus Gl. (5) kann nicht vertraut werden. Quantenmechanisch kann man rigoros beweisen, dass das Spektrum des Hamiltonoperators ist H ist von unten unbeschränkt, dh es hat keinen Grundzustand und ist instabil, siehe zB den Satz in meiner Phys.SE-Antwort hier .

    • a = − 2 : Siehe zB diesen Phys.SE Beitrag.

Ich habe versucht, das Virial (3) für verschiedene Werte von zu zeichnen a und für a > 0 , | G | geht an keiner Grenze ins Unendliche. Aber wenn ich es plane − 2 < a < 0 , | G | geht in den Grenzen gegen unendlich, also für diese Werte | G | ist nicht beschränkt, aber der Satz gilt immer noch. Was mache ich falsch?
Was ich versuche zu sagen, ist das nach den Plots, für die ich gemacht habe | G | Wo − 2 ≤ a ≤ 0 , | G | ist nicht begrenzt, aber Sie sagen das immer noch ⟨ H ⟩ ≤ 0 , obwohl der Satz in diesem Fall nicht gelten sollte.
Danke. Ich habe die Antwort aktualisiert.
Vielen Dank!!! Ich werde die von Ihnen bereitgestellten Links weiter lesen, um diese Schlussfolgerungen noch besser zu verstehen!
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