Ableitungsfrage der WKB-Methode

Question

Ableitungsfrage der WKB-Methode

Physik
halbklassisch
Annäherungen
Quantenmechanik
physikalische Konstanten
Verformungsquantisierung

MH Yip

Quantum Mechanics (2nd Edition) von Bransden und Joachain enthält die folgende Passage:

Durch Einsetzen von (8.176) in (8.171) erhalten wir für $S(x)$ Die gleichung
$- \frac{ich ℏ}{2 M} \frac{D^{2} S (X)}{D X^{2}} + \frac{1}{2} [\frac{D S (X)}{D X}]^{2} + v (X) - E = 0.$ $-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm{d}^2S(x)}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{2}\biggl[\frac{\mathrm{d}S(x)}{\mathrm{d}x}\biggr]^2 + V(x) - E = 0.$ Bisher wurde keine Näherung vorgenommen, diese Gleichung ist streng äquivalent zur ursprünglichen Schrödinger-Gleichung (8.171). Leider ist Gleichung 8.177) eine nichtlineare Gleichung, die tatsächlich komplizierter ist als (8.171) selbst! Wir müssen also versuchen, (8.177) näherungsweise zu lösen. Dazu bemerken wir zunächst, wenn das Potential konstant ist, dann $S(x) = \pm p_0 x$ (siehe (8.172)) und der erste Term links von (8.177) verschwindet. Darüber hinaus ist dieser Begriff proportional zu $\hbar$ , und verschwindet daher im klassischen Limes ( $\hbar\to 0$ ). Dies legt nahe, dass wir behandeln $\hbar$ als Parameter der Kleinheit und erweitern die Funktion $S(x)$ in der Potenzreihe $\begin{matrix} (8.178) & S (X) = S_{0} (X) + ℏ S_{1} (X) + \frac{ℏ^{2}}{2} S_{2} (X) + \dots \end{matrix}$ $S(x) = S_0(x) + \hbar S_1(x) + \frac{\hbar^2}{2}S_2(x) + \cdots\tag{8.178}$ Einsetzen der Entwicklung (8.178) in (8.177) und Nullsetzen der Koeffizienten jeder Potenz von $\hbar$ separat finden wir den Satz von Gleichungen $\begin{aligned} (8.179a) & \frac{1}{2 M} [\frac{D S_{0} (X)}{D X}]^{2} + v (X) - E & = 0 \\ (8.179b) & \frac{D S_{0} (X)}{D X} \frac{D S_{1} (X)}{D X} - \frac{ich}{2} \frac{D^{2} S_{0} (X)}{D X^{2}} & = 0 \\ (8.179c) & \frac{D S_{0} (X)}{D X} \frac{D S_{2} (X)}{D X} + [\frac{D S_{1} (X)}{D X}]^{2} - ich \frac{D^{2} S_{1} (X)}{D X^{2}} & = 0 \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{1}{2m}\biggl[\frac{\mathrm{d}S_0(x)}{\mathrm{d}x}\biggr]^2 + V(x) - E &= 0\tag{8.179a} \\ \frac{\mathrm{d}S_0(x)}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}S_1(x)}{\mathrm{d}x} - \frac{i}{2}\frac{\mathrm{d}^2 S_0(x)}{\mathrm{d}x^2} &= 0\tag{8.179b} \\ \frac{\mathrm{d}S_0(x)}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}S_2(x)}{\mathrm{d}x} + \biggl[\frac{\mathrm{d}S_1(x)}{\mathrm{d}x}\biggr]^2 - i\frac{\mathrm{d}^2 S_1(x)}{\mathrm{d}x^2} &= 0\tag{8.179c} \end{align}$

Meine Frage ist, warum muss jeder Term Null sein?

Die Gleichung (8.177) ist gleich Null. Nach Einsetzen von (8.178) bis (8.177). Es bedeutet nicht jeden Begriff der Bestellung $\hbar$ müssen da gleich null sein $\hbar$ ist konstant, oder?

Antworten (3)

Ableitungsfrage der WKB-Methode

QMechaniker · Answer 1

In der semiklassischen WKB-Näherung die Planck-Konstante $\hbar$ ist keine feste Zahl, die ihrem physikalischen Wert entspricht $\approx 1.05 \times 10^{-34} Js$ . Stattdessen ist es ein unbestimmtes . Die semiklassische WKB-Entwicklung ist eine asymptotische Entwicklung im Grenzwert $\hbar\to 0^+$ .

Endulum · Answer 2

Ich persönlich bin einer Behandlung eher abgeneigt $\hbar$ als "kleiner Parameter", da er eine Dimension hat und durch geeignete Wahl der Einheiten beliebig groß oder klein gemacht werden kann. Wann immer diese kleine Hand gemacht wird, passiert genau das $\hbar$ im Vergleich zu einer anderen Größe, die der Autor nicht nennen möchte, als klein behandelt wird. Glücklicherweise muss sich die WKB-Technik auf keine verlassen $\hbar\to0$ Hokuspokus, wenn er als asymptotische Erweiterung ausgeführt wird. Im Folgenden werde ich die Anwendung von WKB auf die Schrödinger-Gleichung erarbeiten. Dieser Beitrag basiert auf Vorlesung 8 von Carl Benders exzellenten Gastvorträgen am Perimeter Institute ( Link zu Videos ).

Beginnen mit

- \frac{ℏ^{2}}{2 M} ψ^{″} (X) = [E - v (X)] ψ (X)

$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x) = [E-V(x)]\psi(x)$ Lassen Sie uns durch durch multiplizieren

- \frac{2 m}{ℏ^{2}}

$-\frac{2m}{\hbar^2}$ und definieren

f (x) = \frac{2 m}{ℏ^{2}} [V (x) - E]

$f(x) = \frac{2m}{\hbar^2}[V(x)-E]$ . Dann nach Vermietung

ψ = e^{S}

$\psi=e^S$ , unsere Differenzialgleichung zur Bekämpfung von Lesevorgängen

\begin{matrix} (⋆) & S^{″} (X) + [S^{'} (X)]^{2} = F (X) \end{matrix}

$S''(x) + [S'(x)]^2 = f(x) \tag{$\star$}$ Die physikalische Motivation dieses Problems bestand darin, das Verhalten der Wellenfunktion in der Nähe des Punktes zu verstehen

x_{0}

$x_0$ Wo

E = V (x_{0})

$E=V(x_0)$ . Daher,

f \to 0

$f\to0$ als

x \to x_{0}

$x\to x_0$ . Die WKB-Näherung besagt, dass in der Nähe dieses Wendepunkts

| S^{'} (x) |^{2} ≫ | S^{″} (x) |

$|S'(x)|^2\gg |S''(x)|$ . Nehmen wir dies für diesen Beitrag als inspirierte Vermutung an.

Mit der WKB-Näherung können wir die exakte (aber schreckliche) ODE ( $\star$ ) mit einem asymptotisch korrekten as $x\to x_0$

[S^{'} (X)]^{2} \sim F (X)

$[S'(x)]^2 \sim f(x)$ die zwei Lösungen hat

S (X) \sim \pm \int \sqrt{F (X)} D X

$S(x) \sim \pm \int\sqrt{f(x)}dx$ Das Schild "

\sim

$\sim$ „hier steht für „ist asymptotisch zu.“ Asymptotische Beziehungen folgen vielen der gleichen Regeln wie Gleichheitsbeziehungen, aber dieser Beitrag ist nicht der Ort, um darauf einzugehen. Hinterlassen Sie einen Kommentar und/oder sehen Sie sich Prof Alle Manipulationen unten erscheinen skizzenhaft.

In diesem Stadium haben wir das asymptotische Verhalten von $S(x)$ als $x\to x_0$ , was bedeutet, dass wir schreiben können

S (X) = \pm \int \sqrt{F (X)} D X + C (X)

$S(x) = \pm \int\sqrt{f(x)}dx + C(x)$ und behaupte das

\begin{matrix} (⋆ ⋆) & | C (X) | ≪ | \int \sqrt{F (X)} D X | \end{matrix}

$|C(x)| \ll \left|\int\sqrt{f(x)}dx\right| \tag{$\star\star$}$ als

x \to x_{0}

$x\to x_0$ . Wenn wir diesen neuen Ausdruck für

S (x)

$S(x)$ hinein (

⋆

$\star$ ), kommen wir zu einer ODE für

C (x)

$C(x)$ :

C^{″} + (C^{'})^{2} \pm 2 \sqrt{F} C^{'} \pm \frac{F^{'}}{2 \sqrt{F}} = 0

$C'' + (C')^2 \pm 2\sqrt{f}C' \pm \frac{f'}{2\sqrt{f}} =0$ Ekelhaft! Asymptotik wird uns jedoch das Leben vereinfachen. Aus (

⋆ ⋆

$\star\star$ ) oben können wir zwei weitere Beziehungen generieren

\begin{matrix} (A) & | C^{'} | ≪ | \sqrt{F} | \end{matrix}

$|C'| \ll |\sqrt{f}| \tag{a}$

\begin{matrix} (B) & | C^{″} | ≪ | F^{'} / 2 \sqrt{F} | \end{matrix}

$|C''| \ll |f'/2\sqrt{f}| \tag{b}$ als

x \to x_{0}

$x\to x_0$ . (a) lässt uns den zweiten Term im Vergleich zum dritten ignorieren, und (b) lässt uns den ersten Term im Vergleich zum vierten ignorieren und belässt die Beziehung (vorsichtig mit der

\pm

$\pm$ Und

\mp

$\mp$ )

C^{'} (X) \sim - \frac{1}{4} \frac{F^{'} (X)}{F (X)} ⟹ C (X) \sim - \frac{1}{4} \ln F (X) ⟹ C (X) = - \frac{1}{4} \ln F (X) + D (X)

$C'(x) \sim -\frac{1}{4}\frac{f'(x)}{f(x)} \implies C(x) \sim -\frac{1}{4}\ln f(x) \implies C(x) = -\frac{1}{4}\ln f(x) + D(x)$ mit

| D (x) | ≪ | C (x) |

$|D(x)|\ll|C(x)|$ als

x \to x_{0}

$x\to x_0$ .

Nun zurück zu unserem Ausdruck für $S(x)$ , wir können schreiben

S (X) \pm \int \sqrt{F (X)} D X - \frac{1}{4} \ln F (X) + D (X)

$S(x) ~ \pm\int\sqrt{f(x)}dx -\frac{1}{4}\ln f(x) + D(x)$ und potenzieren wir dies, erhalten wir für die Wellenfunktion

ψ (X) = k \frac{e^{\pm \int \sqrt{F (X)} D X}}{\sqrt[4]{F (X)}}

$\psi(x) = k\frac{e^{\pm \int\sqrt{f(x)}dx}}{\sqrt[4]{f(x)}}$ Wo

k = e^{D (x)}

$k = e^{D(x)}$ ist eine sehr langsam variierende Funktion, die sich einer Konstanten wie annähert

x \to x_{0}

$x\to x_0$ .

David z · Answer 3

Es bedeutet nicht jeden Begriff der Bestellung $\hbar$ müssen da gleich null sein $\hbar$ ist konstant, oder?

Es ist wahr, dass $\hbar$ ist eine bekannte Konstante in der realen Welt . Aber das theoretische Modell, mit dem Sie es hier zu tun haben, entspricht nicht ganz der realen Welt. Es ist ein bisschen allgemeiner, und eine der Arten, auf die es allgemeiner ist, ist, dass es für jeden kleinen Wert von funktionieren sollte $\hbar$ , nicht nur der tatsächliche Wert.

Und wenn Sie eine Gleichung der Form haben

C_{0} + C_{1} ℏ + C_{2} \frac{ℏ^{2}}{2} + \dots = 0

$C_0 + C_1 \hbar + C_2 \frac{\hbar^2}{2} + \cdots = 0$ und Sie müssen es für eine ganze Reihe von Werten zutreffen

ℏ

$\hbar$ , die einzige Möglichkeit dafür besteht darin, dass jeder der Koeffizienten

C_{n}

$C_n$ individuell null ist.

Ableitungsfrage der WKB-Methode

MH Yip

Antworten (3)

QMechaniker

Endulum

David z

Wie kann die Plancksche Konstante unterschiedliche Werte annehmen?

Warum dürfen wir im semiklassischen Regime ℏ → 0ℏ → 0\hbar \ \rightarrow \ 0 lassen?

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Ist die Moyal-Liouville-Gleichung ∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]\frac{\partial \rho}{\partial t}= \frac{1}{ i\hbar} [H\stackrel{\star}{,}\rho] in Anwendungen verwendet?

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