Wie kann die Plancksche Konstante unterschiedliche Werte annehmen?

In einem rein klassischen (newtonschen) Universum würden Quanteneffekte fehlen, und um mathematisch vorzutäuschen, dass dies wahr ist, lässt man die Plancksche Konstante gegen Null gehen und sieht, was die Konsequenzen sind. In ähnlicher Weise würden in einem klassischen Universum keine relativistischen Effekte existieren, und dies würde ausgedrückt werden, indem man c gegen unendlich gehen lässt.

Das bedeutet das nicht$\hbar$oder c sind keine Konstanten: Es bedeutet, dass wir die Auswirkungen des Entfernens quantenmechanischer oder relativistischer Überlegungen aus unserer mathematischen Beschreibung der Welt sehen können, indem wir diesen Konstanten den Wert Null zuweisen und sehen, was passiert.

Theorien, die reelle Parameter haben sollen, haben in Wirklichkeit einen mehrdimensionalen Parameterraum, und die reellen Parameter sind Koordinaten in diesem Raum.

Häufig erzeugen mehrere Punkte im Parameterraum isomorphe Theorien. Nehmen Sie zB eine Spielzeugtheorie mit Parametern$x$Und$y$, und die Eigenschaft, dass$(x,y)$Und$(ax,ay)$sind für alle isomorph$a>0$. Das könnte daran liegen$x$Und$y$werden beide in einer Einheit ausgedrückt, und da es nichts anderes gibt, um die Bedeutung der Einheit festzulegen, ändert eine Änderung ihrer Größe die Theorie nicht, solange beide$x$Und$y$werden laufend aktualisiert.

Sie können die Redundanz in der Parametrierung vermeiden, indem Sie auf umschalten$(r,θ)$Polarkoordinaten und dann Fixierung$r$, vielleicht zu$1$, oder vielleicht zu$6.6\times 10^{-34}$für Abwärtskompatibilität. Das deckt nicht das Ganze ab$\mathbb R^2$Parameterraum: er fehlt$x=y=0$. Aber es ist für die meisten Zwecke in Ordnung, wenn Sie das aus Experimenten wissen$x$Und$y$sind nicht beide Null.

Dies ist nicht die einzig mögliche Wahl. Du könntest reparieren$x=1$, und nehme$y$als freien Parameter. Das deckt noch weniger vom Original ab$(x,y)$Platz, aber es ist für die meisten Zwecke in Ordnung, wenn Sie das aus Experimenten wissen$x>0$.

Die Punkte, die nicht von Ihren neuen Koordinaten abgedeckt werden, hören nicht auf zu existieren, nur weil sie auf Ihrem neuen Parameterdiagramm unsichtbar sind. Aber um sie zu "erreichen", müssen Sie das Koordinatensystem wechseln, und das bedeutet zB, dass Sie Ihre Konvention fallen lassen$\hbar$hat einen festen Wert.

Notiere dass der$x=0$Grenze" ist normalerweise kein gut definierter Punkt im theoretischen Raum. Wenn Sie fest$x=1$, Dann$y$Und$y/x$bezeichnen die gleiche Theorie, aber die$x\to 0$begrenzen mit$y$fest ist nicht dasselbe wie die$x\to 0$begrenzen mit$y/x$Fest. Es gibt tatsächlich mehr als einen "$\hbar\to 0$Grenze" zumindest einiger Quantentheorien. Wenn Sie nehmen$\hbar\to 0$Und$n\to\infty$beim Halten$ω$Und$E=n\hbar ω$fixiert, erhalten Sie eine klassische Wellentheorie, bei der Quanteneffekte nicht beobachtbar sind, weil Sie einzelne Teilchen nicht isolieren können. Wenn du nimmst$\hbar\to 0$Und$ω\to\infty$beim Halten$n$Und$E$fixiert, erhalten Sie eine klassische Teilchentheorie, bei der Quanteneffekte nicht beobachtbar sind, weil die Interferenzstreifen infinitesimal dünn sind. Diese Theorien leben an verschiedenen Punkten an der Grenze des Quantentheorieraums.

Aus mathematischer Sicht ist es interessant, Quantentheorien zu untersuchen, bei denen die (reduzierte) Plancksche Konstante nicht unbedingt gleich ihrem physikalischen Wert ist. Zum Beispiel,

1. Im mathematischen Thema Deformationsquantisierung ,$\hbar$wird als freier Parameter (= unbestimmt ) behandelt.

2. Im mathematischen Thema der geometrischen Quantisierung ,$\hbar$ist eine willkürliche, aber feste Konstante.

Strenge Beantwortung Ihrer Frage.

"In der semiklassischen Grenze tendiert ℏ zu Null".

Im obigen Satz bedeutet dies, dass der Beitrag dieser Zahl zum Gesamtergebnis einer Gleichung zu klein wird, sodass er im Vergleich zu den Beiträgen der anderen Terme in derselben Gleichung vernachlässigt werden kann .

Stellen Sie sich die folgende einfache Gleichung vor:$c=a^2+b^2$wenn Sie diese Gleichung für auswerten$a=3$Und$b=1$Sie werden höchstwahrscheinlich nicht ignorieren$b$denn es wird dir etwas bringen$10 \%$Fehler. Versuchen Sie nun, dies auszuwerten$a=3 \times 10^9$Und$b=3 \times 10^3$. In diesem Fall,$b$wird mit ungefähr beitragen$10^{-7} \%$des Gesamtergebnisses, und dann können Sie fallen$b$, und bekomme$c=a^2$, insbesondere wenn einige Unsicherheiten in Ihrem Experiment größer sind als$10^{-7} \%$. Dieser Teil des experimentellen Fehlers ist wichtig, da er bedeutet, dass Sie die Auswirkungen nicht einmal erkennen können$b$was bedeutet, dass es in jeder Hinsicht nicht existiert. Die mathematische Art, Tropfen zu sagen$b$Ist$b \to 0$. In Ihrem speziellen Fall kann man sich ℏ als eine Art Drehimpuls vorstellen. In einem Atom, dessen Drehimpulse (Bahn und Spin) in dieser Größenordnung liegen, kann er in der Gesamtsumme der Drehimpulse nicht vernachlässigt werden. In der klassischen Physik jedoch, wo der Drehimpuls von Planeten, Sternen und Galaxien betrachtet wird, kann man definitiv jeden Faktor von ℏ weglassen.

„Die skalierte Plancksche Konstante geht als$1/N$Wo$N$ist die Hilbert-Raum-Dimension".

In diesem Satz ist es selbstverständlich. Du hast einen Bruch, und je größer der Nenner, desto kleiner das Ergebnis.

Nun, ich schätze, dass diese Art von Befragungen normalerweise auf Argumente von „wann (oder warum) sich die Quantenmechanik auf die klassische Physik reduziert“ erscheinen. Wenn dies der Fall ist, kenne ich die Antwort auf diese neue Frage nicht, aber ich würde sagen, dass es für diejenigen, die Argumente der ersten Art verwenden, ich nicht glaube, dass es eine Reihe grundlegender quantenmechanischer Gleichungen gibt vollständig in die Newtonschen Gesetze umwandelt, wenn wir setzen$ℏ \to 0$, ähnlich wie die Relativitätstheorie beim Einstellen$c \to \infty$, Zum Beispiel. Machen Sie für die Relativitätstheorie einfach eine Taylor-Entwicklung der relativistischen Gesamtenergie, set$c \to \infty$und, voila, Sie stellen die Newtonsche Mechanik vollständig wieder her, insbesondere wenn sie auf Lagrange- oder Hamilton-Weise formuliert ist. Diejenigen, die Argumente der zweiten Art verwenden (unter Verwendung der Dimension des Hilbert-Raums), sind möglicherweise in einer besseren Position, aber das wäre Gegenstand einer anderen Frage und nicht ausschließlich der Frage „Wie kann die Planck-Konstante unterschiedliche Werte annehmen?“. Ich schätze.

In Störungstheorien spricht man davon, wie man die klassische Newtonsche Mechanik „stört“, um quantenmechanische Effekte einzubeziehen (oder umgekehrt, wie man aus Quantensicht zur klassischen Physik gelangt). Wenn Sie beispielsweise einen Impulsfehler in einem zweiten Newtonschen Gesetz berücksichtigen , erhalten Sie:

Das Ersetzen des Impulsfehlers durch die Heisenbergsche Unschärferelation ergibt:

Jetzt differenzieren in Bezug auf$t$, gibt :

Wo$\Delta v$ist Unsicherheit in der Geschwindigkeit, und$\Delta x$ist Unsicherheit in der Position.

Ersetzen Sie bei dieser Gleichung$n=0$(entspricht dem Zurücksetzen der reduzierten Planck-Konstante auf Null) - und Sie haben einen gewöhnlichen klassischen Ausdruck des zweiten Newton-Gesetzes.

Ersatz$n=1$und Sie haben eine halbklassische Korrektur für einen minimalen Fehler aufgrund der Heisenberg-Unsicherheit.

Vollständige Quantenansicht ist in Fall$n \ge 1,~n=1,2,3,\dots,\infty$, weil es irrtümlich keine Obergrenze gibt.

Die Antwort von Niels ist richtig, aber die Idee des Multiversums sollte erwähnt werden. Dies ist eine spekulative Theorie, dass die Physik möglicherweise nicht überall gleich ist. Konstanten können sich von Ort zu Ort ändern.

Dafür gibt es keine experimentellen Beweise. Soweit wir wissen, ist das beobachtbare Universum einheitlich. Aber wir können nicht über das beobachtbare Universum hinaussehen. Inflation und Stringtheorie zusammen machen es zumindest plausibel, dass andere Regionen ganz andere Gesetze haben könnten.

Weitere Informationen finden Sie unter Das Multiversum, Science or Science Fiction? | Sean Caroll

Die Plankenkonstante verschwindet in der Klassischen Mechanik nie, da die Beobachtungen mit Licht gemacht werden ($E=\hbar\omega$). Die klassische Mechanik beinhaltet Photonen (eine Art Mittelung). Die Photonenenergien sind klein in Bezug auf die kinetische Energie eines klassischen Körpers, also liegt alles innerhalb experimenteller Fehlerbalken, aber es existiert! Das ist die richtige Physik.

Aus mathematischer Sicht ist es äquivalent zu sagen

• Alle relevanten Größen (mit den Dimensionen einer Aktion) im System sind viel größer als$\hbar$
• Der Wert von$\hbar$ist im Vergleich zur relevanten Skala sehr klein

Die letztere Grenze ist viel einfacher symbolisch auszuführen, indem man die Grenze nimmt$\hbar \to 0$. In Wirklichkeit,$\hbar$bleibt konstant, aber die Skalen der Längen$\times$Impulse oder Energien$\times$Zeiten im System werden viel größer, so dass wir den Einfluss etwaiger beteiligter Terme vernachlässigen können$\hbar$.

Ihr zweites Beispiel mit der "skalierten Planck-Konstante" beinhaltet wahrscheinlich eine ähnliche Idee. Für numerische Berechnungen müssen alle Größen im Computer durch eine dimensionslose Gleitkommazahl dargestellt werden, also stellen Sie sie in einem Verfahren namens Nichtdimensionalisierung als Vielfache einer Skala mit den richtigen Dimensionen dar . Nach diesem Verfahren hängen die skalierten Versionen aller zuvor dimensionierten Konstanten von der verwendeten Skala ab.

Die Antwort von benrg enthält eine theoretischere Erklärung dieser Idee.