Was ist die Verbindung zwischen Poisson-Klammern und Kommutatoren?

Poisson-Klammern spielen in der klassischen Mechanik mehr oder weniger die gleiche Rolle wie Kommutatoren in der Quantenmechanik. Beispielsweise ist die Hamilton-Gleichung in der klassischen Mechanik analog zur Heisenberg-Gleichung in der Quantenmechanik:

$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} &= \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t} & \frac{\mathrm{d}\hat f}{\mathrm{d}t} &= -\frac{i}{\hbar}[\hat f,\hat H] + \frac{\partial \hat f}{\partial t}\end{align}$$

wo$H$ist der Hamiltonoperator und$f$ist entweder eine Funktion der Zustandsvariablen$q$und$p$(in der klassischen Gleichung) oder ein Operator, der auf den Quantenzustand einwirkt$|\psi\rangle$(in der Quantengleichung). Der Hut zeigt an, dass es sich um einen Operator handelt.

Wenn Sie eine klassische Theorie in ihre Quantenversion umwandeln, müssen Sie außerdem alle Variablen als Operatoren neu interpretieren und dann den grundlegenden Operatoren eine Kommutierungsbeziehung auferlegen:$[\hat q,\hat p] = C$wo$C$ist etwas konstant. Um den Wert dieser Konstante zu bestimmen, können Sie gemäß der Formel die Poisson-Klammer der entsprechenden Größen in der klassischen Theorie als Motivation verwenden$[\hat q,\hat p] = i\hbar \{q,p\}$. Zum Beispiel ist in der grundlegenden Quantenmechanik der Kommutator von Ort und Impuls$[\hat x,\hat p] = i\hbar$, weil in der klassischen Mechanik$\{x,p\} = 1$.

Antikommutatoren sind nicht direkt mit Poisson-Klammern verwandt, aber sie sind eine logische Erweiterung von Kommutatoren. Immerhin, wenn Sie den Wert fixieren können$\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$und daraus eine vernünftige Theorie zu machen, ist es natürlich, sich zu fragen, welche Art von Theorie man bekommen würde, wenn man den Wert festlegt$\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$stattdessen. Dies spielt eine wichtige Rolle in der Quantenfeldtheorie, wo Ihnen die Fixierung des Kommutators eine Theorie der Bosonen und die Fixierung des Antikommutators eine Theorie der Fermionen liefert.

Nach dem Thema Deformationsquantisierung die ersten paar Einträge im Lexikon zwischen

$$\text{Quantum Mechanics}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Classical Mechanics}\tag{0}$$

lesen

$$\text{Operator}\quad\hat{f}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Function/Symbol}\quad f,\tag{1}$$

$$\text{Composition}\quad\hat{f}\circ\hat{g} \quad\longleftrightarrow\quad\text{Star product}\quad f\star g ,\tag{2}$$ und

$$\text{Commutator}\quad [\hat{f},\hat{g}] \quad\longleftrightarrow\quad\text{Poisson bracket}\quad i\hbar\{f,g\}_{PB} + \color{red}{{\cal O}(\hbar^2)}. \tag{3}$$

Beachten Sie, dass die Entsprechung (0) davon abhängt, welche Symbole man verwendet, zB Weyl-Symbole , und dass es im Allgemeinen Quantenkorrekturen höherer Ordnung geben könnte$\color{red}{{\cal O}(\hbar^2)}$in der Identifikation (3).

Beispiel 1: (Grundlegende CCR )

$$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar{\bf 1}\quad\longleftrightarrow\quad \{q,p\}_{PB}~=~1.\tag{4}$$

Beispiel 2:

$$[\hat{q}^2,\hat{p}^2]~=~4[\hat{q},\hat{p}]~ (\hat{q}\hat{p})_W\quad\longleftrightarrow\quad \{q^2,p^2\}_{PB}~=~4\{q,p\}_{PB} ~qp, \tag{5}$$ wo$(\ldots)_W$steht für Weyl-Symmetrisierung von Operatoren. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

Beispiel 3:

$$[\hat{q}^3,\hat{p}^3]~=~9[\hat{q},\hat{p}]~ (\hat{q}^2\hat{p}^2)_W + \color{red}{\frac{3}{2}[\hat{q},\hat{p}]^3}\quad\longleftrightarrow\quad \{q^3,p^3\}_{PB}~=~9\{q,p\}_{PB}~ q^2p^2.\tag{6}$$ Beachten Sie, dass es Quantenkorrekturen höherer Ordnung gibt$\color{red}{{\cal O}(\hbar^3)}$in Gl. (6) auch nach Weyl-Symmetrisierung.

Sowohl der Kommutator (von Matrizen) als auch die Poisson-Klammer erfüllen die Jacobi-Identität,$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$.

Aus diesem Grund wurde Dirac von Heisenbergs Verwendung von Kommutatoren inspiriert, einen Stil der Hamilton-Jacobi-Dynamik der Quantenmechanik zu entwickeln, der die erste wirkliche Vereinigung von Heisenbergs Matrixmechanik mit Schrödingers Wellenmechanik lieferte. Die Jacobi-Identität ist auch das Grundgesetz der Lie-Algebren, die für Symmetriegruppen in der Quantentheorie nützlich sind.

In der klassischen Mechanik sind die dynamischen Variablen die Funktionen$f$im Phasenraum, und sie erhalten eine nicht-triviale algebraische Struktur aus der Poisson-Klammer. Sie sind die klassischen „Observables“. In der Quantenmechanik sind die Observablen Matrizen, das sind die dynamischen Variablen, aber sie erhalten durch den Kommutator eine ähnliche algebraische Struktur.

Wie bereits erwähnt, ist der Antikommutator nicht analog zur Poisson-Klammer, sondern ein deutlich neues Quantenphänomen ohne klassisches Analogon.

Bezüglich der Bedeutung der Observablen Impuls und Ort gibt es viele Gemeinsamkeiten zwischen klassischer und Quantenmechanik. Auf einige der algebraischen Beziehungen wurde hingewiesen.

Am Ende bleibt noch ein wichtiger Unterschied, der sich daran zeigt, dass die durch klassische Größen erzeugte Funktionenalgebra kommutativ ist

$$q·p=p·q,$$ und der andere nicht $$Q\ P\ne P\ Q=Q\ P-[Q,P\ ].$$ Man könnte fragen, ob es eine Struktur für die klassische Funktionenalgebra von gibt $q$und $p$mit einem Produkt, das der quantenmechanischen Algebra ähnelt $Q$und $P$. Dh gibt es ein Produkt, bezeichnen wir es mit $\star\ $, wofür $$q\star p-p\star q=[q\ \overset{\star}{,}\ p]\ \ \Longleftrightarrow\ \ [Q,P\ ]=Q\ P-P\ Q.$$

Mehr zu Fragen in diesem Sinne findet sich unter Weyl-Quantisierung .

Das am meisten untersuchte Starprodukt ist das Moyal-Produkt , das per Definition erfüllt

$$[f\ \overset{\star}{,}\ g]=i\hbar\ \{f,g\}+\mathcal O(\hbar^2).$$

Feldmedaillen werden für solche Sachen gewonnen.

Ich kenne keinen Zusammenhang zwischen Poisson-Klammer und Antikommutator, aber ich kenne den Zusammenhang zwischen Poisson-Klammer und Kommutator.

$$[\hat a,\hat b]=i\hbar\{a,b\}_\text{Poisson}$$

Feinheiten

Als Betreiber$\hat a$und$\hat b$Gegenstücke zu klassischen dynamischen Variablen sind, müssen sie ①Funktionen kanonischer Koordinaten und Impulse sein (Spin ausschließen, der nicht in eine Poisson-Klammer gesetzt werden kann) ②Hermitesche Operatoren (try$[\hat{x}\hat{p},\hat{p}\hat{x}]$).

Außerdem ist das Gleichheitszeichen nicht wirklich eine Gleichheit, da rhs kommutative Zahlen sind, während lhs nicht kommutative Operatoren sind, also müssen Sie vorsichtig sein, wenn Sie zwei Seiten in Beziehung setzen. Zum Beispiel die Quantenanalogie von$xp$ist weder$\hat{x}\hat{p}$oder$\hat{p}\hat{x}$, aber$\frac{1}{2}\left(\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}\right)$.