Moyal-Produkt in der nichtkommutativen Quantenmechanik

I) Das assoziative nicht-kommutative Moyal/Groenewold/star-Produkt$f\star g$wird auf Wikipedia erklärt . Die entsprechende$\star$-Kommutator ist definiert als

$$\tag{1} [f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f.$$

Insbesondere die Jacobi-Identität für die$\star$-Kommutator ist eine Folge der Assoziativität der$\star$-Produkt.

II) Einerseits gibt es die Algebra der Funktionen, sagen wir, die Algebra$\mathbb{C}[[x]]$von Potenzreihen in Unbestimmten$x_a$. Wir rüsten es mit einer Einheit aus$1$und das$\star$-Produkt$^1$so dass

$$\tag{2} [x_a\stackrel{\star}{,}x_b]~=~i\theta_{ab}.$$

III) Andererseits gibt es die Heisenberg-Algebra$({\cal A}, +, \circ)$generiert durch

$$\tag{3} [X_a\stackrel{\circ}{,}X_b]~=~i\theta_{ab}{\bf 1}.$$

Hier sind die Elemente der Heisenberg-Algebra (lineare) Operatoren, die auf Funktionen wirken; das Algebraprodukt$\circ$ist Zusammensetzung; die Algebra-Einheit${\bf 1}$ist der Identitätsoperator; Und

$$\tag{4} [A \stackrel{\circ}{,}B]~:=~A \circ B - B \circ A$$

ist der übliche Kompositionskommutator zweier Operatoren$A$Und$B$.

IV) Es gibt einen eindeutigen algebraischen Isomorphismus

$$\tag{5} (\mathbb{C}[[x_a]],+, \star) ~\stackrel{\Phi}{\longrightarrow}~({\cal A}, +, \circ)$$

generiert durch

$$\tag{6} \Phi(x_a)~:=~X_a.$$

Daraus folgt, dass der Algebra-Isomorphismus$\Phi$bildet die (2) in (3) ab.

V) Die Heisenberg-Algebra wirkt auf die Algebra$\mathbb{C}[[x]]$, also ein Operator$A$wirkt auf eine Funktion$\psi$und eine neue Funktion erzeugen$A(\psi)$. Konkret für ein Element$A\in {\cal A}$definieren

$$\tag{7} A(\psi)~:=~\Phi^{-1}(A) \star \psi.$$

Äquivalent,

$$\tag{8} \Phi(f) (g)~:=~f \star g.$$

Es ist nicht schwer zu sehen, dass die Definition (7) damit konsistent ist$\Phi$ist ein algebraischer Isomorphismus.

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$^1$Es gibt auch die standardmäßige kommutative und assoziative punktweise Multiplikation$\cdot$von Funktionen, die hier fast keine Rolle spielen.