Haben die kanonischen Kommutierungsbeziehungen irgendeine Verbindung zur Geometrie?

Nun, das ist ein ziemlich weites Thema.

1. Hier ist eine Möglichkeit, wie CCRs aus einer ziemlich großen Klasse von Geometrien entstehen: Gegeben eine Fedosov-Mannigfaltigkeit $(M,\omega, \nabla)$[dh eine Mannigfaltigkeit$M$mit einer Symplektik ausgestattet$2$-form$\omega$mit kompatibler torsionsfreier Verbindung$^1$ $\nabla$] bewies Fedosov die Existenz eines assoziativen Sternprodukts

   $$f\star g~=~fg +{\cal O}(\hbar)\tag{1}$$ von Funktionen$f,g\in C^{\infty}(M)$im Kontext der Deformationsquantisierung$^2$. Der Sternkommutator $$[f\stackrel{\star}{,}g]~:=~f\star g-g\star f~=~i\hbar\{f,g\}_{PB}+{\cal O}(\hbar^2) \tag{2}$$ entspricht einem Kommutator von Operatoren über eine Symbol-Operator-Korrespondenzabbildung. Der Satz von Darboux sichert die lokale Existenz kanonischer Koordinaten$(q^1, \ldots, q^n,p_1, \ldots, p_n)$. CCRs sind daher sinnvoll.

2. Für eine grundlegende Diskussion der Verbindung zwischen Kommutatoren und Poisson-Klammern siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

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$^1$Eine symplektische Mannigfaltigkeit$(M,\omega)$hat immer so eine Verbindung$\nabla$; es ist jedoch nicht einzigartig. Siehe auch zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

$^2$Kontsevich erweiterte die Konstruktion eines assoziativen Sternprodukts (1) auf eine beliebige Poisson-Mannigfaltigkeit .

Grob gesagt ist das Eichpotential identisch mit einer Verbindung, bei der das Eichpotential auf die Amplitude (Feldgröße) bezogen ist.

Die Kommutierungsrelation in der Quantentheorie kann als Kommutierungsrelation von Feldvariablen (Amplitude) geschrieben werden.

So ist es natürlich, die Vertauschungsrelation im Zusammenhang ausgedrückt zu haben.