Warum brauchen wir nicht-triviale Fibrationen?

Warum können wir nicht einfach jedem Punkt der Blochkugel eine Phase zuordnen?$e^{i\phi}$?

Dies ist die Idee eines Abschnitts eines Faserbündels . Sie betrachten in diesem Fall einen Basisraum$S^{2}$mit Faser$S^{1}$. Lokal sieht das Faserbündel aus$S^{2}×S^{1}$. Allerdings will man eine Fibration derart betrachten, dass der globale Raum nicht das triviale Produkt ist, sondern$S^{3}$. Die Hopf-Faserung ermöglicht es Ihnen, die Zwischenräume zu drehen und zu kleben, um die gewünschte Kennzeichnung zu erhalten.

Ist dies die einzige Fibration, die dir gibt$S^{3}$? Die Antwort ist ja, aber um es zu sehen, sind einige Kenntnisse in algebraischer Topologie und charakteristischen Klassen erforderlich. Grundsätzlich werden Kreisbündel bis zur Bündelisomorphie durch die erste Chern-Klasse klassifiziert . Der nächste Schritt besteht darin, zu sehen, dass die Hopf-Faserung zur Klasse der gehört$1\in H^{2}(\cal{S^{2},\mathbb{Z}})$. Sie können dies tun, indem Sie lange Fasersequenzen konstruieren, wie es hier gemacht wird . Schließlich müssen Sie beweisen, dass jeder andere Kreis mit Gesamtraum bündelt$S^{3}$gehört zu dieser Klasse. Ich habe das in mathstackexchnage gefragt und das war die Antwort .

Eine andere Antwort kann in Bezug auf die Hopf-Invariante formuliert werden , die eine Homotopie-Invariante ist. Ein Theorem von Frank Adams und anschließend von Michael Atiyah mit Methoden der topologischen K-Theorie bewies, dass die einzigen Abbildungen der Hopf-Invariante 1 die Kugelbündel in den Dimensionen 2, 4 und 8 sind. Damit ist die Frage erledigt, ob man das Gleiche gerne betrachtet bis auf Homotopieäquivalenz dasselbe bedeuten. Ein Beweis dafür, dass Gleiches als Gleiches bis hin zur Homöomorphie für Basis, Faser und Gesamtraum betrachtet wird, findet sich in dieser Arbeit. (Korollar 3.9, Theorem 6.1) Dies deckt auch die anderen Fälle ab, nach denen Sie fragen.

Die Hopf-Fibration ist eine Projektion von der 3er-Sphäre auf die 2er-Sphäre. Dies ist eine Dimensionsreduktion. Die "zusätzliche" 4.-dimensionale Information aus dem 4. Raum der Quaternion wird über die globale Phase im unteren 3. Raum kodiert. Die globale Phase ist eine natürliche verborgene Variable des Qubits im "unteren" 3D-Raum - für weitere Informationen siehe;

Einheits-Quaternionen und die Bloch-Sphäre: https://arxiv.org/abs/1411.4999

Die Hopf-Fibration

$$\mathbb{S}^3\mapsto^{\mathbb{S}^1}\mathbb{S}^2$$ ist definiert durch $$\hat{\mathcal{R}}\;=\;\hat{\Psi}\frac{\hat{\sigma}_i}{2}\hat{\Psi}^\dagger$$

$\bullet$ $\mathbb{S}^3$Das Quaternion (Spinor)$\hat{\Psi}(\theta,\phi,\omega)$beschreibt die darin eingebettete 3-Sphäre$\mathbb{R}^4$.

$\bullet$ $\mathbb{S}^2$Der Bloch-Vektor$\hat{\mathcal{R}}(\theta,\phi)$beschreibt die darin eingebettete 2-Sphäre$\mathbb{R}^3$.

$\bullet$ $\mathbb{S}^1$Die globale Phase$e^{i\frac{\omega}{2}}$beschreibt die darin eingebettete 1-Sphäre$\mathbb{R}^2$.

Die globale Phase ist eine natürliche verborgene Variable der Quaternion (Spinor/Qubit), wenn sie in der Bloch-Kugeldarstellung betrachtet wird -$\mathbb{S}^1$ist das Faserbündel, das die 3-Sphäre und die 2-Sphäre verbindet. Diese nicht-triviale Hopf-Fibration wird durch die globale Phase parametrisiert, die definiert ist als:

$$\omega\;=\;\int_0^tdt'\left[\frac{\mathcal{R}^j\mathcal{H}^j+\mathcal{R}^k\mathcal{H}^k}{(\mathcal{R}^j)^2+(\mathcal{R}^k)^2}\right]$$

Wo$\mathcal{R}^\bullet$sind die Elemente des Bloch-Vektors und$\mathcal{H}^\bullet$sind die Elemente des Hamilton-Operators - die die von Neumann-Gleichung erfüllen

$$\dot{\hat{\mathcal{R}}}\;=\;[\mathcal{\hat{H}},\hat{\mathcal{R}}]$$ ausgedrückt in der Cayley-Basis.

Die globale Phase sagt Ihnen, wo Sie sich "global" auf der 3-Sphäre befinden. Wenn wir zum Beispiel einen geschlossenen Pfad auf der Bloch-Kugel wählen und berechnen, dass die globale Phase einer Umlaufbahn ist$\omega=2\pi$, dann ist die$\mathbb{S}^1$Faserung

$$e^{i\frac{2\pi}{2}}=-1$$ Der negative Koeffizient sagt uns, dass wir nur die Hälfte des gesamten Weges auf der 3-Sphäre zurückgelegt haben. Während es scheint, dass wir unseren Ausgangspunkt nach einem Umlauf erreicht haben, benötigen wir in Wirklichkeit einen zweiten Umlauf des Pfades auf der Bloch-Kugel, um zum Ausgangspunkt zurückzukehren.

Physikalisch interpretiert erklärt dies den Eigenspin der Spin-$\frac{1}{2}$Fermionen. Die Fermionen benötigen 2 Umlaufbahnen, um zu ihrem Ausgangspunkt zurückzukehren - a$4\pi$Drehung. Weitere Informationen finden Sie unter;

The Hopf-Fibration and Hidden Variables in Quantum and Classical Mechanics: http://arxiv.org/abs/1601.02569

(Ich habe den obigen Artikel verfasst.)

Mantras wie „Die Bloch-Sphäre enthält alle beobachtbaren Informationen über das System“ sind Müll. Dies bezieht sich implizit auf das Konzept eines (reinen) Quantenzustands und verwechselt es mit einem wichtigen Konzept von Observable , aber Quantenzustände sind ein kniffliges Zeug und das Wort „Information“ kann besonders tückisch werden .

Beginnen wir mit der Mathematik. Relevante Formalismen sind: Hilbert-Räume, ihre Projektivierungen und Observablen. ^{Ja, wenn du die ℂ 2} bekommstHilbert-Raum (für zwei Zustände) und sich dann auf Norm-1-Zustandsvektoren beschränken, dann geben Sie eine 3-Sphäre an. Warum repräsentieren Vektoren, die sich nur durch eine U(1)-Multiplikation unterscheiden, denselben Zustand? Weil Werte von Observablen (2 × 2 komplexe Matrizen) auf ihnen und ihre Wahrscheinlichkeiten nicht von der Phase abhängen. Daher ist es zweckmäßig, die Projektivierung zu betrachten; Eigenzustände von (nicht entarteten selbstkonjugierten) Operatoren werden eindeutig definiert, ohne störende U(1)-Freiheit für jeden von ihnen. Nicht diese konkrete Hopf-Faserung spielt eine Rolle; Die Projektivierung auf einem Hilbert-Raum spielt im Allgemeinen eine Rolle. Es gibt keine Wahl: Alle Hilbert-Räume derselben Dimension sind isomorph, und die Projektivierung ist einzigartig. Es kommt vor, dass alle diese Fibrationen (außer dem Fall eines Einzustands-Quantensystems, ℂ auf Singleton projiziert) nicht trivial sind; nur eine mathematische Tatsache. Ich betone: das sind leicht unterschiedliche mathematische Formalismen für Zustände; jeder hat sowohl Vor- als auch Nachteile. Die Nützlichkeit von Projektivierungen erlaubt es Ihnen nicht, U(1) in zu ignorierenirgendeine Berechnung . Dies bedeutet, dass, wenn Sie ein Quantensystem isoliert betrachten, die U(1)-Wirkung auf seine Quantenzustände in der Beschreibung seines Verhaltens ignoriert werden kann.

Man kann „jedem Punkt der Blochkugel einfach eine Phase zuordnen“, aber es macht einfach keinen Sinn . Sie erhalten nicht die Struktur eines linearen Raums, ganz zu schweigen davon, dass eine solche Abbildung auf ℂ ² \{0} möglicherweise nicht kontinuierlich ist. Sie verlieren die Invarianz und Symmetrie des projektiven Formalismus, ohne die Linearität der Hilbert-Räume zu gewinnen.

Ich könnte auch die C*-Algebra der Observablen auf einem Qubit und ihre Beziehung zur Kugel/Ball im Detail erklären, aber diese Sache wird nicht gefragt.

Jetzt Physik. Wenn Sie etwas über Quantenzustände verstehen wollen, dann verbieten Sie sich vielleicht zu glauben, dass jedes Qubit einen bestimmten reinen Quantenzustand hat (Tipp: Betrachten Sie ein EPR-Paar). Wenn dir jemals jemand so etwas gesagt hat, dann war er/sie ein Lügner. Unsere Welt enthält Qubits nicht isoliert; Alle Quantensysteme sind potentiell verschränkt.