Gibt es einen topologischen Unterschied zwischen einem elektrischen Monopol und einem magnetischen Monopol?

Der Unterschied zwischen den beiden entsteht, weil Maxwells Gleichungen, obwohl sie vollkommen "gleich" aussehen, tatsächlich nicht alle von der gleichen Natur sind, wenn wir Elektromagnetismus in Begriffen eines Potentials ausdrücken. Wenn Sie denken$F$als dynamische Variable, dann

Viel natürlicher ist es, die magnetischen Ladungen verschwinden zu lassen, dh$\mathrm{d}F = 0$. Dann existiert nach dem Poincaré-Lemma lokal ein 1-Form-Potenzial$A$mit$\mathrm{d}A = F$, und da ist das eher natürliche Yang-Mills-Lagrange mit$A$an eine Stromabgabe gekoppelt$\mathrm{d}{\star}F = j_\text{el}$Wenn$A$wird als dynamische Variable betrachtet. Die entscheidende Beobachtung ist, dass in dieser Lagrange-Formulierung$\mathrm{d}F = 0$ist keine Bewegungsgleichung. Es ist die Bianchi-Identität, die einfach aus der Definition folgt $F$die Ableitung des Potentials sein$A$, und es ist daher unmöglich , die Theorie des elektrischen Potentials zu koppeln$A$zu einem magnetischen Strom. Wie Sie bereits erwähnt haben, erfordert die Einführung magnetischer Monopole in diese Eichtheorie "topologische Trickserei", bei der wir die Position des Monopols aus der Raumzeit ausschließen müssen, die wir zur Rettung in Betracht ziehen$\mathrm{d}F = 0$und damit die Beschreibung in Bezug auf$A$, siehe auch diese Antwort von mir .

Nun, Sie könnten das sagen, seit wir uns vorgestellt haben$A$basierend auf Maxwells Gleichungen und diese sind perfekt symmetrisch, gibt es nichts Fundamentales an der magnetischen Ladung, das sie zu derjenigen macht, die auf diese topologische Weise anstelle der elektrischen Ladung beschrieben werden sollte. Wir können wechseln$F$und${\star}F$, dh Änderung, die wir als fundamentale Größe und die als Hodge-Dual betrachten, und definieren stattdessen den "Standard" -Zustand unserer Eichtheorie als einen Zustand, in dem elektrische Ladungen fehlen, so dass wir ein magnetisches Potential haben$B$mit$\mathrm{d}\mathrm{d}B = \mathrm{d}{\star}F = 0$.

Aber da elektrische Ladungen in unserer Alltagswelt so reichlich vorhanden sind, magnetische jedoch nicht, ist dies schrecklich ineffizient.

Dies lässt sich am besten in Bezug auf differenzielle Formen verstehen, aber vage besteht der Unterschied darin$\mathbf E = -\nabla \varphi$ist ein Gradient, aber$\mathbf B = \nabla\times \mathbf A$ist eine Locke.

Wenn$A$ist das Eichpotential, die Feldstärke ist die zugehörige Krümmung$F = dA + A \wedge A = dA$wobei ich für die zweite Gleichheit die Diskussion auf den Elektromagnetismus beschränke, dh a$U(1)$Gauge-Gruppe, so dass$A \wedge A = 0$.

Im$3+1$Dimensionen, wobei ein Inertialsystem mit Zeitkoordinate gewählt wird$t$, kann die 2-Form F ausgedrückt werden als

(Dies entspricht dem üblichen Ausdruck der Komponenten des Feldtensors,

Jetzt sehen wir das$dF = 0$entspricht

Dies sind die Aussagen, die die 1-Form$E$und die 2-Form$B$sind zu. Ein globales skalares (Vektor-)Potenzial existiert, wenn sie exakt sind, d. h.$E = -d\phi$für aa 0-Form (Skalar)$\phi$, und$B = d\tilde{A}$für eine 1-Form$\tilde{A}$. Geschlossen ist immer notwendig für exakt, aber dass geschlossen ausreichend für exakt ist, ist eine topologische Eigenschaft. A geschlossen$n$-Form ist genau, wenn die$n$:th de Rham-Kohomologie$H^n_\text{dR}$des Raumes verschwindet.

Jetzt für$\mathbb R^3 -\{0\}$,$H^1_\text{dR} = 0$(Dies ist gleichbedeutend mit einer einfachen Verbindung), aber$H^2_\text{dR} \neq 0$. Daher gibt es einen Unterschied zwischen den elektrischen und magnetischen Gehäusen.

TL;DR:$\mathbf B$ist aber eine Locke$\mathbf E$ist ein Gradient, und diese sind topologisch verschieden, und dies wird dadurch verschleiert, dass man nicht in Begriffen von differentiellen Formen denkt.

Nun, ein Unterschied ist das Potenzial von Messgerät 4$A_{\mu}$in E&M.

1. Einerseits ist eine elektrische Monopolladung (dh eine Ladungsverteilung in Form einer Dirac-Delta-Verteilung) konsistent mit einem (möglichen singulären) Eich-4-Potential$A_{\mu}$(z. B. ein Coulomb-Potential) an der Monopolposition${\bf r}$. Es besteht keine Notwendigkeit, mit einer punktierten Topologie zu arbeiten$\mathbb{R}^3\backslash \{{\bf r}\}$.

2. Andererseits ist ein magnetischer Dirac-Monopol (selbst in einem Verteilungssinn !) mit einem Eich-4-Potential inkompatibel$A_{\mu}$an der Monopolstellung${\bf r}$. Es ist obligatorisch, eine nicht-triviale Topologie und/oder Dirac-Strings einzuführen.

Es sollte vielleicht betont werden, dass angenommen wird, dass tatsächliche magnetische Monopole (die bisher experimentell nicht beobachtet wurden) 't Hooft-Polyakov-Monopole sind, nicht Dirac-Monopole, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

Warum brauchen wir diese Konstruktion nicht für "elektrische Monopole", also eine elektrische Punktladung wie ein Elektron?

Es ist keine Frage der Notwendigkeit, aber es ist relevant, darüber nachzudenken, warum diese Konstruktion bisher nicht ernst genommen wurde. Und das bezieht sich auf Ihren letzten Kommentar.

Ich habe noch nie eine Diskussion in topologischer Hinsicht über eine elektrische Punktladung wie ein Elektron gesehen und mich daher gefragt, warum diese immer nur für magnetische Monopole eingeführt werden.

Es gibt tatsächlich einen Artikel, der elektrische Punktladungen in topologischen Begriffen diskutiert. " Ladungsquantisierung ohne magnetische Monopole: ein topologischer Ansatz zum Elektromagnetismus ".

Vollständige Offenlegung: Ich bin der Autor dieses Artikels.

Irgendwie bei der Beschreibung des elektromagnetischen Feldtensors$F$als Differential$2$-Form in der Minkowski-Raumzeit paart sich das „elektrische Feld “ mit dem Zeitdifferential, z Mathematik und Physik “ von Bott, oder auch in der Antwort von Robin Ekman .

Und dieses Differenzial$2$-Form wird angenommen, dass sie die Krümmung einer Verbindung darstellt. Das Übliche$U(1)$Lehre Beschreibung der Theorie.

A priori gibt es keinen physikalischen Grund für diese Auswahl, insbesondere wenn man bedenkt, dass die Aufteilung des elektromagnetischen Tensors in einen elektrischen und einen magnetischen Teil willkürlich und nicht physikalisch ist (sie hängt von einer bestimmten Wahl des Referenzrahmens ab).

Wie jedoch in 1 gezeigt wird , sind das Fehlen von Beweisen für magnetische Pole (und der Erfolg von Maxwells Theorie, die sie nicht einbeziehen) sowie die quantisierte Natur elektrischer Ladungen (eine experimentelle Tatsache, die 1909 von Millikan und Fletcher beobachtet wurde , und in einführenden Laborkursen leicht nachzuvollziehen) unterstützen und zeigen an, dass es vorzuziehen ist, das Mischmasch von zu betrachten$F$als die Krümmung einer Verbindung. Dies ist gleichbedeutend mit der Paarung des "Magnetfeldes" mit der Zeitdifferenz im Vergleich zu den anderen zitierten Artikeln.

Obwohl es nicht notwendig ist, elektrische Pole über die Topologie so zu behandeln, wie magnetische Pole behandelt werden, könnte dies relevant und die "richtige" Betrachtungsweise sein, da es eine Erklärung für die Quantisierung elektrischer Ladung liefert, ohne dass magnetische herangezogen werden müssen Pole und Quantenmechanik.

Aus dem Buch "Topology, Geometry and Gauge Fields—-interactions" von Gregory L. Naber, Abschnitt 2.2 Elektromagnetische Felder, Seite 55, ist die erste Chern-Klasse, die die Maxwell-Theorie erfüllt, trivial. dh die elektrische Ladung kodiert nicht die Topologie der Raumzeit.