Wellenfunktion "einwertig" vs. "bis zu einer Phase" (Eichtransformation) Existenz eines globalen Abschnitts im vollständigen Linienbündel

Question

Wellenfunktion "einwertig" vs. "bis zu einer Phase" (Eichtransformation) Existenz eines globalen Abschnitts im vollständigen Linienbündel

Anonym

Ich treffe immer auf folgende Sprüche: In einem Fall sagt man, dass die Wellenfunktion einwertig sein muss, in einem anderen Fall sagt man, dass die Wellenfunktion bis zu einer Phase im selben Punkt sein könnte, wenn es eine Eichtransformation gibt. Ich bin so verwirrt über diese beiden Sprüche. Ich werde einige Fälle auflisten, in denen ich diese Sprüche treffe.

Betrachten Sie zunächst ein freies Teilchen in einem Kreis $S^1$ mit Radius $r$ . Der Hamitonian ist

H = \frac{1}{2 m r^{2}} (- ich ℏ \frac{\partial}{\partial ϕ})^{2}

$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi})^2$ Dann ist die Eigenfunktion

ψ = \frac{1}{\sqrt{2 π r}} e^{ich n ϕ}

$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$ Weil die Wellenfunktion einwertig sein muss

S^{1}

$S^1$ ,

n

$n$ muss zu ganzen Zahlen gehören, dh

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ .

Betrachten Sie im zweiten Fall ein Teilchen in einem Kreis $S^1$ mit Radius $r$ und das Flussmittel auftragen $\Phi$ in der Mitte des Kreises. Dann ist der Hamitonian

H = \frac{1}{2 m r^{2}} (- ich ℏ \frac{\partial}{\partial ϕ} + \frac{e Φ}{2 π})^{2}

$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{e\Phi}{2\pi})^2$

Die Eigenfunktion ist still

ψ = \frac{1}{\sqrt{2 π r}} e^{ich n ϕ}

$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$ Auch weil die Wellenfunktion einwertig sein muss

S^{1}

$S^1$ ,

n

$n$ muss zu ganzen Zahlen gehören, dh

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . Der einzige Unterschied besteht darin, dass es zu einer gewissen Verschiebung des Eigenwerts kommt.

Als dritter Fall betrachten wir ein Teilchen in einem Torus $T^2$ , mit zwei Längen $L_x$ und $L_y$ . Und wir legen ein einheitliches Magnetfeld an $B$ durch die Oberfläche des Torus. Wenn wir die Spurweite von Landau wählen $A_x = 0$ , $A_y= B x$ . Der Hamitonian ist jetzt

H = \frac{1}{2 m} (p_{x}^{2} + (p_{j} + e B x)^{2})

$H=\frac{1}{2m}(p_x^2 +(p_y+eBx)^2)$

Wir wissen, dass in diesem Fall die Symmetrie des Hamitonischen als magnetische Translationsgruppe bezeichnet wird .

T (d) = e^{- ich d \cdot (ich \nabla + e EIN / ℏ)}

$T(\mathbf{d})= e^{-i \mathbf{d}\cdot(i\nabla+e \mathbf{A}/\hbar)}$ das ist

[T (d), H] = 0

$[T(\mathbf{d}),H]=0$ Also die Eigenfunktion

ψ (x, y)

$\psi(x,y)$ sollte unveränderlich sein unter

T (d)

$T(\mathbf{d})$ .

T_{x} ψ (x, j) = ψ (x + L_{x}, j) = ψ (x, j)

$T_x \psi(x,y)=\psi(x+L_x,y)=\psi(x,y)$

T_{j} ψ (x, j) = e^{- ich e B L_{j} x / ℏ} ψ (x, j + L_{j}) = ψ (x, j)

$T_y \psi(x,y)=e^{-ieBL_yx/\hbar}\psi(x,y+L_y)=\psi(x,y)$ mit

T_{x} = T ((L_{x}, 0))

$T_x =T((L_x,0))$ und

T_{y} = T ((0, L_{y}))

$T_y=T((0,L_y))$ . Wir sehen also, dass die Wellenfunktion in diesem Fall nicht einwertig ist, dh

ψ (x, y + L_{y}) \neq ψ (x, y)

$\psi(x,y+L_y)\ne \psi(x,y)$ .

Meine Frage ist: In welchem Fall geben wir zu, dass die Wellenfunktion nicht einwertig ist? Wir sehen alle Fälle mit physischem Raum mehrfach verbunden. Sowohl der 2. als auch der 3. Fall sind das System mit elektromagnetischem Feld / Eichfeld, warum 1., 2. ist immer noch einwertig, aber 3. nicht? Es scheint, dass die Existenz einer nicht trivialen Topologie des physischen Raums oder des Magnetfelds / Eichfelds nicht die Antwort ist.

PS: Dank @David Bar Moshe war mir nie klar, dass diese Frage möglicherweise mit dem globalen Abschnitt komplexer Leitungsbündel zusammenhängt.

QMechaniker

Welche Menschen?...

Benutzer153663

@Qmechanic Viele QM-Lehrbücher sagen, dass die Wellenfunktion einwertig ist.

ZeroTheHero

Ihre Notation ist nicht so ideal wie Sie

ϕ

$\phi$ für die Eigenfunktion und auch

ϕ

$\phi$ für einen Winkel. Könnten Sie bearbeiten, um die Referenzierung zu vereinfachen?

Benutzer154997

Ich denke nicht

A_{x} = 0

$A_x=0$ ,

A_{y} = B x

$A_y=Bx$ hält zunächst einmal den ganzen Torus.

Jahan Claes

Ich glaube, der einzige Grund, warum die Wellenfunktion nicht einwertig ist, ist das

\vec{A}

$\vec{A}$ ist auf dem Torus nicht einwertig.

Physhyp

wavefunction da jede Funktion nur einen Wert für jede Eingabe haben sollte. da Ihr System periodisch ist

ψ (x)

$\psi(x)$ und

ψ (x + L)

$\psi(x+L)$ sollte gleich sein, weil

x

$x$ und

x + L

$x+L$ ist ein genau gleicher Punkt auf diesem System.

Benutzer153663

@physshyp Wie erkläre ich dann meinen 3. Fall? Es ist absolut nicht-einwertig.

Benutzer154997

Ich denke, es gibt eine Quantisierungsbedingung

L_{1}

$L_1$ und

L_{2}

$L_2$ eigentlich. Diese Art von Thema wird normalerweise mit einem starken geometrischen Formalismus diskutiert, aber ich habe eine Referenz gefunden, die es banal hält: E. Onofri. Landau-Nivelliere auf einem Torus. International Journal of Theoretical Physics, 40(2):537–549, Feb 2001. Sofern ich Ihren 3. Fall nicht völlig missverstanden habe, spricht dieser Artikel genau das an.

Antworten (1)

Wellenfunktion "einwertig" vs. "bis zu einer Phase" (Eichtransformation) Existenz eines globalen Abschnitts im vollständigen Linienbündel

@Qmechanic Viele QM-Lehrbücher sagen, dass die Wellenfunktion einwertig ist.
Ihre Notation ist nicht so ideal wie Sie $\phi$ für die Eigenfunktion und auch $\phi$ für einen Winkel. Könnten Sie bearbeiten, um die Referenzierung zu vereinfachen?
Ich denke nicht $A_x=0$ , $A_y=Bx$ hält zunächst einmal den ganzen Torus.
Ich glaube, der einzige Grund, warum die Wellenfunktion nicht einwertig ist, ist das $\vec{A}$ ist auf dem Torus nicht einwertig.
wavefunction da jede Funktion nur einen Wert für jede Eingabe haben sollte. da Ihr System periodisch ist $\psi(x)$ und $\psi(x+L)$ sollte gleich sein, weil $x$ und $x+L$ ist ein genau gleicher Punkt auf diesem System.
@physshyp Wie erkläre ich dann meinen 3. Fall? Es ist absolut nicht-einwertig.
Ich denke, es gibt eine Quantisierungsbedingung $L_1$ und $L_2$ eigentlich. Diese Art von Thema wird normalerweise mit einem starken geometrischen Formalismus diskutiert, aber ich habe eine Referenz gefunden, die es banal hält: E. Onofri. Landau-Nivelliere auf einem Torus. International Journal of Theoretical Physics, 40(2):537–549, Feb 2001. Sofern ich Ihren 3. Fall nicht völlig missverstanden habe, spricht dieser Artikel genau das an.

David Bar Mosche · Answer 1

In der Quantenmechanik spielt die Normierung der Wellenfunktion keine Rolle, da wir Erwartungswerte berechnen nach:

⟨ Ö ⟩ = \frac{ψ^{†} Ö ψ}{ψ^{†} ψ}

$\langle O \rangle = \frac{\psi^{\dagger} O \psi}{\psi^{\dagger} \psi}$ Aus diesem Grund werden Wellenfunktionen mit Abschnitten komplexer Linienbündel identifiziert. Bitte beachten Sie diese Einführung für Physiker von Orlando Alvarez.

Wenn ein Linienbündel trivial ist, kann sein Abschnittsraum aus wahren Funktionen gebildet werden, die einwertig sein sollten.

Die Äquivalenzklasse von Leitungsbündeln über einer Mannigfaltigkeit $M$ heißt Picard-Gruppe $\mathrm{Pic}(M)$ . Jedes Element (außer der Eins) dieser Gruppe führt zu einer nicht äquivalenten Quantisierung, bei der der Phasenfaktor nicht durch eine Eichtransformation entfernt werden kann.

Siehe Prieto und Vitolo für eine kurze Erklärung.

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist die Picard-Gruppe über die ganzen Zahlen isomorph zur zweiten Kohomologiegruppe

P ich c (M) ≅ H^{2} (M, Z)

$\mathrm{Pic}(M) \cong H^2(M, \mathbb{Z})$

Aus diesem Grund wird es in Quantenmechanik-Texten selten erwähnt, die eher auf das entsprechende Element verweisen $H^2(M, \mathbb{Z})$ die erste Chern-Klasse darstellt.

Hervorzuheben ist:

(1) dass selbst wenn die Picard-Gruppe trivial ist oder die Quantisierung einem trivialen Element entspricht, wir mehrwertige Wellenfunktionen haben können, aber die Mehrwertigkeit durch eine Eichtransformation entfernt werden kann.

(2) Die erste Chern-Klasse ist kein ausreichender Klassifizierer nichtäquivalenter Quantisierungen. Effekte wie der Aharonov-Bohm-Effekt werden nicht erkannt. Diese werden von einem Element der Gruppe erkannt $\mathrm{Hom}(\pi_1(M), U(1))$ , siehe zum Beispiel Doebner und Tolar .

(3) Der relevante Verteiler $M$ ist der Phasenraum. Da es sich bei dem gegebenen Beispiel um Punktteilchen handelt, deren Phasenraum das Kotangensbündel eines Konfigurationsraums ist, liegt die nichttriviale Topologie im Konfigurationsraum und wir können von Linienbündeln über dem Konfigurationsraum sprechen.

Zurück zu Ihren Beispielen: Die ersten beiden beschreiben die Bewegung auf dem Kreis $S^1$ . Durch dimensionales Denken $H^2(S^1, \mathbb{Z})=0$ , also können Wellenfunktionen als wahre Funktionen gewählt werden. Das zweite Beispiel bezieht sich auf den in der zweiten Bemerkung oben beschriebenen Fall $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$

Im dritten Beispiel $H^2(T^2, \mathbb{Z})= \mathbb{Z}$ , erzeugt durch ganzzahlige Vielfache des Grundflächenelements, daher können für ein nicht verschwindendes Magnetfeld die Wellenfunktionen nicht als wahre Funktionen angenommen werden.

Vielen Dank. Ich hätte nie gedacht, dass diese Frage mit der charakteristischen Klasse von Faserbündeln zusammenhängen wird.

Wellenfunktion "einwertig" vs. "bis zu einer Phase" (Eichtransformation) Existenz eines globalen Abschnitts im vollständigen Linienbündel

Anonym

QMechaniker

Benutzer153663

ZeroTheHero

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Jahan Claes

Physhyp

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David Bar Mosche

Benutzer153663

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