Notation

$\renewcommand{braket}[2]{\langle #1 | #2 \rangle}$Lassen Sie uns zunächst den Begriff "1-Form" definieren:

Eine 1-Form ist eine lineare Funktion, die einen einzelnen Vektor als Argument verwendet.

Das ist es. Es ist nicht verwirrender oder komplizierter als diese einzelne Aussage. Betrachten Sie einen Vektor$v$. Gegeben irgendein anderer Vektor$w$wir können das innere Produkt bilden$\braket{v}{w}$. Beachten Sie, dass

$$\braket{v}{a w + b x} = a \braket{v}{w} + b \braket{v}{x} \, .$$

Daher die Funktion$f_v$durch die Gleichung definiert

$$f_v(w) = \braket{v}{w}$$

ist eine Funktion, die einen einzelnen Vektor annimmt und in ihrem Argument linear ist. Mit anderen Worten,$f_v$ist eine 1-Form. Aus dieser Diskussion können Sie sehen, dass jeder Vektor$v$ist direkt mit einer 1-Form verbunden$f_v$durch die Gleichung definiert$f_v(x) = \braket{v}{x}$. Beachten Sie, dass 1-Formen auch als Kovektoren bezeichnet werden , und die 1-Form$f_v$dem Vektor zugeordnet$v$heißt dualer Vektor oder einfach dual von$v$.

Wir wechseln jetzt zur Verwendung von Fettschrift für Vektoren, um mit dem ursprünglichen Beitrag konsistent zu bleiben.

Betrachten Sie eine ebene Welle ausgedrückt als$\exp[i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}]$. Das Ding im Exponenten ist das innere Produkt eines Wellenvektors$\mathbf{k}$mit dem Positionsvektor$\mathbf{x}$. Tatsächlich können wir die Welle in einer suggestiven Form schreiben

$$\begin{align} \exp \left[ i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \right] &= \exp \left[ i \braket{\mathbf{k}}{\mathbf{x}} \right] \\ &= \exp \left[ i f_\mathbf{k}(\mathbf{x)} \right] \end{align}$$

Wo$f_\mathbf{k}$ist eine 1-Form wie oben beschrieben.

Es scheint, dass Ihr Buch zur Verdeutlichung der Notation a verwendet$\tilde{}$über den Symbolen, um anzuzeigen, dass etwas eine 1-Form anstelle eines Vektors ist. Mit anderen Worten, wo ich schreibe$f_\mathbf{k}$Ihr Buch schreibt$\tilde{\mathbf{k}}$. Eigentlich würde ich die Notation sagen$\braket{\tilde{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}}$Von Ihrem Buch verwendet wird, weil normalerweise das Symbol nicht so gut ist$\braket{\cdot}{\cdot}$wird verwendet, um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu bezeichnen . Es ist etwas seltsam, es mit einer 1-Form auf der linken Seite zu schreiben. Wir können das Symbol jedoch einfach neu interpretieren$\braket{\tilde{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}}$als$\braket{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}$oder$f_\mathbf{k}(\mathbf{x})$.

Physikalische Bedeutung

Wir diskutieren nun die physikalische Bedeutung von$\tilde{\mathbf{k}}$. Wie Ihr Buch sagt, wenn Sie diese 1-Form füttern, bilden Sie einen Vektor$\mathbf{v}$, gibt es Ihnen die Anzahl der Zyklen an, die die Welle durchläuft, wenn Sie sich um die Verschiebung bewegen$\mathbf{x}$. Es ist eine 1-Form aus dem einfachen Grund, dass es einen Vektor frisst und eine Zahl produziert und im Argument linear ist. Das ist es, es ist nur eine Definition. Wie Ihr Buch sagt, können Sie sich die 1-Form vorstellen$\tilde{\mathbf{k}}$als eine Menge von Ebenen, weil die Anzahl der Ebenen gezählt wird, die von a gekreuzt werden$\mathbf{x}$liefert das gleiche Ergebnis wie$\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}$, wie im Diagramm gezeigt.

Zusammenfassung

1. Eine 1-Form ist nur eine lineare Funktion eines Vektors.

2. Jeder Vektor$v$ist eindeutig einer 1-Form zugeordnet$f_v$durch die Gleichung definiert$f_v(x) = \braket{v}{x} = v \cdot x$.

3. Ein geometrisches Bild der 1-Form$f_k$ist eine Reihe von parallelen Ebenen mit Abstand$2 \pi / |k|$, und die Nummer$f_k(x)$ist die Anzahl der Ebenen, die von einem Vektor gekreuzt werden$x$.

Angenommen, Sie haben ein schiefes Koordinatensystem mit Vektoren, die Komponenten haben$v^i$relativ zu einigen Basisvektoren definiert$\hat e_i$so dass$\vec v = v^i \hat e_i$in der Einstein-Summierungskonvention (wir summieren über jeden Index, der einmal oben und einmal unten wiederholt wird).

Die Bedeutung eines schiefen Koordinatensystems ist dies$\hat e_i \cdot \hat e_j \ne \delta_{ij}$für das Kronecker-Delta$\delta_{ij} = \{1\text{ if }i = k,\text{ else } 0\}.$Das bringt unsere schöne Punktproduktformel durcheinander; mehr können wir nicht mit großer Leichtigkeit sagen

$$\vec u\cdot\vec v = \sum_i u^i~v^i$$ denn das stimmt nicht mehr. Stattdessen haben wir: $$\vec u\cdot\vec v = u^i~v^j~(\hat e_i \cdot \hat e_j)$$ was bedeutet, dass es eine symmetrische Matrix gibt $g_{ij} = \hat e_i \cdot \hat e_j$die solche inneren Produkte regelt. Diese Matrix wird Metrik genannt .

Die Metrik ist symmetrisch und hat eine inverse Matrix, die wir schreiben können$g^{ij}$definiert von$g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k$, wo wir jetzt einen "richtigen" Kronecker haben$\delta$Ausdruck. Dies kann verwendet werden, um die duale Basis zu definieren

$$\hat e^k = g^{ki}~\hat e_i,$$ mit der definierenden Eigenschaft, dass $\hat e^i \cdot \hat e_j = \delta^i_j.$Mit anderen Worten, um den Vektor dual zu zu finden $\hat e_1$, finden wir einen Vektor $\vec u^1$die senkrecht dazu steht $\hat e_2, \hat e_3, \dots$und dann skalieren $\hat e^1 = k~\vec u^1$durch Auswählen $k$so dass $\hat e^1 \cdot \hat e_1 = 1$. [Wenn Sie keine Matrixinversion mögen oder all dies in einem nicht flachen Raum tun, wenn dieser Raum eine Orientierung hat (ein antisymmetrischer Tensor, der eine lineare Karte von ist $n$Vektoren zu einem Skalar, wobei $n$die Dimension der Tangentialräume ist), können Sie damit eine Eins-Form erstellen, die diese anderen Basisvektoren auf Null abbildet.]

Dann der Vektor$\vec u = u^i ~\hat e_i$kann auch geschrieben werden als$u_i~\hat e^i$Wo$u_i = g_{ij} u^j$und die schöne, einfache Form des Punktprodukts kann wiederhergestellt werden

$$\vec u \cdot \vec v = u_i v^i = u^i v_i.$$ Wenn Sie jetzt anfangen, vertraute Ausdrücke in ein Kristallgitter zu schreiben, $$\psi = e^{i(~\vec k~\cdot~\vec x ~-~ \omega~t~)}$$ Mit unserem neuen Formalismus würden wir Ihren Positionsvektor ausdrücken $\vec x = x^i ~\hat e_i$und so ist der natürliche "Raum", in dem Ihre Wellenzahlen leben, der duale Raum. Dies ist auch der natürliche Raum für Ableitungen, wie sich herausstellt: Das Differential einer Funktion ist still $$df = f(\vec x + d\vec x) - f(\vec x) \approx \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} ~ dx^i$$ was bedeutet, dass die Komponenten $\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)_{\{x^j,j\ne i\}}$(partielle Ableitungen bzgl $x^i$alle anderen halten $x^j$Konstante) muss sich transformieren wie die Covektoren transformieren, damit dies einfach geschrieben werden kann als $$df = (\partial_i f)~dx^i.$$ Der typische Quantenimpulsoperator ist $\hat p_i = -i~\hbar\partial_i$. Wenden Sie dies als an $p_a = -i \hbar \partial_a \exp\left[i~\big(k_b x^b - \omega t\big)\right]$gibt einen Kovektorimpuls, der wirkt $v$wie $\langle p, v\rangle$.

Ich bin mir nicht 100% sicher, ob das hilft, aber hoffentlich gibt Ihnen das eine Vorstellung davon, wie die Idee der dualen Räume mit der Physik zusammenhängt. Wenn Sie daran interessiert sind, Einstein-Summen ohne expliziten Bezug auf Koordinaten zu verwenden, gibt es außerdem eine sogenannte "abstrakte Indexnotation", die Sie nachschlagen sollten.

Achtung : Viele Texte in der Festkörperphysik definieren$\hat e^i \cdot \hat e_j = 2\pi~\delta^i_j$, um a zu retten$2\pi$in einigen Exponentialausdrücken. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie diese Dinge sehen.

Der Name „1er-Form“ wird nur verwendet, weil es 2er-Formen und 3er-Formen usw. gibt. Ein äquivalenter, aber wahrscheinlich besserer Name für 1-Formen in diesem Fall ist "Dual Vector". Jedem Vektorraum ist der duale Raum zugeordnet, der aus allen linearen Funktionen besteht, die Vektoren in Skalare abbilden.

Das ist alles, was ein dualer Vektor ist: ein Ding, das Vektoren linear in Skalare abbildet.

Aber die Leute haben gerne Sehhilfen. Bleiben wir bei 2D. Wenn Sie sich Vektoren als Pfeile vorstellen, ergibt sich ein analoges Bild von dualen Vektoren als Höhenlinien. Oder vielmehr, wenn die Sammlung vieler Pfeile ein Vektorfeld darstellt, repräsentiert die Sammlung vieler Konturlinien ein duales Vektorfeld.

Insbesondere für endlichdimensionale Vektorräume gibt es eine natürliche Bijektion zwischen dem Raum selbst und dem dualen Raum: Jeder Vektor ist eindeutig einem dualen Vektor zugeordnet und umgekehrt. Das einem Vektorfeld zugeordnete duale Vektorfeld wird durch die zu den Pfeilen des Vektorfelds orthogonalen Konturen dargestellt. Wenn Sie umgekehrt mit einem Konturdiagramm beginnen, das ein duales Vektorfeld darstellt, und orthogonal dazu Pfeile zeichnen, deren Länge proportional zur Konturdichte ist, haben Sie selbst die Pfeildarstellung des zugehörigen Vektorfelds.

In diesem Bild von Pfeilen und Konturen ist die Wirkung eines dualen Vektorfelds auf ein Vektorfeld das Skalarfeld, das misst, wie viele Konturen von jedem Pfeil durchbohrt werden. Wenn die Konturen näher sind (die dualen Vektoren sind größer) oder die Pfeile länger sind (die Vektoren sind größer), ist das Ergebnis eine größere Zahl. Wenn die Pfeile größtenteils entlang Konturen zeigen, sind die Felder falsch ausgerichtet und das Ergebnis ist kleiner (erinnern Sie sich daran, dass die den Konturen zugeordneten Pfeile, die senkrecht zu diesen Konturen sind, senkrecht zu den ursprünglichen Pfeilen wären).

Die Maschinerie mag etwas überheblich erscheinen, da es in der euklidischen Geometrie wirklich keinen Vorteil hat, Konturen anstelle der zugehörigen Pfeile zu verwenden. Aber mit nicht-flachen Metriken wird die Verbindung zwischen Vektoren und dualen Vektoren weniger trivial. Natürlich funktionieren unsere Bilder dann auch nicht so gut.