Warum müssen Wellenfunktionen einwertig sein?

Soweit ich weiß, muss immer, wenn Sie eine Wellenfunktion in der "realen Welt" definiert haben, sie einwertig sein, nämlich nach a auf denselben Ausdruck zurückkommen$2\pi$Drehung (in der realen Welt). Das sehen wir im wahren Leben$2\pi$Drehungen sind egal.

Dies ist jedoch nicht der Fall für Wellenfunktionen, die in Räumen definiert sind, die nicht unser realer Raum sind, wie zum Beispiel der Spinraum. Spinoren wechseln das Vorzeichen nach a$2\pi$Rotation, so dass sie in diesem Sinne nicht einwertig sind. Ich bin auch auf einen interessanten Fall gestoßen, als ich über geometrische Phasen in molekularen Systemen gelesen habe. Mittels Born-Oppenheimer-Näherung wird die Gesamtwellenfunktion in eine elektronische und eine nukleare Wellenfunktion zerlegt. Da nur der Gesamtwert "im realen Raum" ist, muss er einwertig sein, aber der elektronische und der nukleare Wert haben diese Einschränkung nicht. Sie können beide nach einer zyklischen Entwicklung das Vorzeichen ändern, unter der Bedingung, dass ihr Produkt gleich bleibt.

Ich hoffe, es hilft.

Bearbeiten: Übrigens denke ich, dass die Eindeutigkeit realer Dinge der Grund ist, warum der Bahndrehimpuls immer ganzzahlige Werte annimmt, obwohl die allgemeine Theorie des Drehimpulses auch halbzahlige Werte zulässt.

Die Wahrscheinlichkeiten basieren auf dem Betrag der Wellenfunktion, also auf$\psi^\star\psi$. Im Prinzip erlaubt dies beispielsweise zweiwertige Drehimpulswellenfunktionen mit

In der Praxis sind die zweiwertigen Spinfunktionen nicht sehr schön, wurden aber verwendet (Pavšič, M (2007). "Rigid Particle and its Spin Revisited". Foundations of Phys. 37 (1): 40–79). Wenn sich Ihre Frage wirklich auf ganzzahlige Werte des Drehimpulses bezieht, siehe Ballentine, LE (1998). Quantenmechanik: Eine moderne Entwicklung. S. 169-172 für ein Argument, das sich weder auf die einwertige Annahme noch auf die anspruchsvollere Lie-Algebra-Mathematik oben von Silvia G stützt.

Hoffentlich ist es nicht vom Thema abgekommen, aber ich denke, ich kann auch eine (Skizze einer) mathematischen Erklärung für den Unterschied zwischen Rotationen im realen Raum und im Spin-Raum liefern. Im realen Raum haben wir eine dreidimensionale Matrixdarstellung der Rotationsgruppe$SO(3)$, wobei die Drehung mit$2\pi$entspricht der Identitätsmatrix. Die Wellenfunktion ist in diesem Fall einwertig.

Wenn es um 1/2 Spin geht, beginnen wir mit einer zweidimensionalen Darstellung der Lie-Algebra von$SO(3)$, die Pauli-Matrizen. Es kann jedoch nicht zu einer Darstellung der Gruppe potenziert werden, da die Gruppe nicht einfach verbunden ist. Es wird zu einer Darstellung der universellen Deckgruppe von potenziert$SO(3)$, nämlich die einfach zusammenhängende Gruppe$SU(2)$. Und tatsächlich führt dies zu einer projektiven Darstellung von$SO(3)$, was wir eigentlich wollen (wir beschäftigen uns mit dem Zustandsraum, nicht mit dem Hilbert-Raum selbst). Jetzt,$SU(2)$ist eine doppelte Abdeckung von$SO(3)$, grob gesagt$SU(2)$besteht aus zwei Kopien von$SO(3)$. Rotation mit$2\pi$wird an minus der Identitätsmatrix gesendet, während Rotation mit$4\pi$wird an die Identitätsmatrix gesendet. Beide werden auf dasselbe Element in projiziert$SO(3)$. Die Wellenfunktion ist in diesem Fall nicht einwertig, sondern zweiwertig.

Es ist eine ähnliche Diskussion mit der Lorentz-Gruppe und$SL(2,\mathbb{C})$. Die Dirac-Spinoren ändern ebenfalls das Vorzeichen bei$2\pi$Drehungen. Das Buch von B.Thaller „Die Dirac-Gleichung“ bietet eine strenge Diskussion dessen, was ich hier zu sagen versucht habe, indem es Gruppen und Vorzeichenänderungen abdeckt.

Dies ist so, weil es, falls es mehrwertig ist, zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten führt, das Teilchen an einem bestimmten Punkt des Raums zu einer bestimmten Zeit zu finden, was nicht möglich ist