Einfache Rotation einer atomaren Orbitalwellenfunktion

Wir wissen, dass eine Atombahnwellenfunktion in Polarkoordinaten geschrieben werden kann,

ψ ( R , θ , ϕ ) = R ( R ) A ( θ , ϕ )
Wo R ( R ) ist die radiale Komponente und A ( θ , ϕ ) ist der Winkelteil.

Es gibt viele Orbitale von Interesse, aber insbesondere bin ich daran interessiert, eine Symmetrieoperation anzuwenden D X j . Wir wissen, dass der Winkelteil dieses Orbitals ist Sünde 2 ⁡ ( θ ) Sünde ⁡ ( 2 ϕ ) . Angenommen, ich möchte nur um eine Achse drehen, sagen wir θ , also repariere ich ϕ und drehen θ von π / 2 . Dies bedeutet, dass das gedrehte Orbital jetzt geschrieben wird als A ( θ + π / 2 , ϕ ) = Sünde 2 ⁡ ( θ + π / 2 ) Sünde ⁡ ( 2 ϕ ) . Wir wissen von trig. Das Sünde ⁡ ( A + π / 2 ) = cos ⁡ ( A ) , daher kann der Winkelteil unseres transformierten Orbitals jetzt geschrieben werden als

A ( θ + π / 2 , ϕ ) = cos 2 ⁡ ( θ ) Sünde ⁡ ( 2 ϕ )

grafische Ansätze für dieses Problem für das reale Orbital legen dies jedoch nahe C ^ 4 Drehung sollte zurückgeben − D X j . Was vermisse ich?

Antworten (1)

Sie haben die Drehung falsch gemacht --- Drehung um 90 Grad hinzuzufügen θ fügt keine Konstante hinzu θ , dreht es die xy-Ebene um 90 Grad. Der Winkel, der früher war ϕ ist jetzt θ -ähnlich, dass es sich in einer Ebene dreht, die die z-Achse enthält, und die ϕ Die Abhängigkeit hat sich komplett verändert.

Der einfachste Weg, diese Winkelwellenfunktion zu drehen, besteht darin, zu beachten, dass es sich um den Winkelteil des quadratischen Polynoms 2xy handelt. Eine Drehung um 90 Grad um die y-Achse bringt z zu x und x zu minus z und ergibt so das Polynom - 2yz. Wenn Sie die Winkelform von z und y einsetzen, erhalten Sie

A ( θ , ϕ ) = − cos ⁡ ( θ ) Sünde ⁡ ( θ ) Sünde ⁡ ( ϕ ) = − cos ⁡ ( 2 θ ) Sünde ⁡ ( ϕ )

Drehen Sie Winkelwellenfunktionen im Allgemeinen nicht in Polarkoordinaten. Schreiben Sie sie als Polynome auf und drehen Sie ihre rechteckige Koordinatenform. Es gibt eine tabellarische Möglichkeit, die Rotation für Winkelwellenfunktionen in Bezug auf sich selbst zu schreiben, aber das ist normalerweise schwieriger als das Konvertieren auf die oben beschriebene Weise.

Wo kann ich mehr über diese tabellarische Art lesen, sie in Bezug auf sich selbst zu schreiben? Der Grund, warum ich mich dafür interessiere, ist, dass ich versuche, die Transformationseigenschaften von symmetrieangepassten Linearkombinationen für mich selbst zu entdecken, aber ich habe festgestellt, dass ich dies nicht zuverlässig über den grafischen Ansatz angreifen kann.
Wichtig ist, dass ich darauf neugierig bin, weil ich nicht sehe, wie die oben gezeigte gedrehte Winkelfunktion zusammenhängt − D X j .
Die Rotation der Winkelfunktionen in sich selbst ist als ganzzahlige Spindarstellung der Rotationsgruppe bekannt und wird in den meisten Quantenmechanik-Boos unter "Winkelimpuls" behandelt. Wenn Sie die Physik ignorieren, können Sie dieses Kapitel direkt lesen. Die Formeln, die Sie verwenden möchten, verwenden eine "D"-Matrix, um die gedrehten Versionen der Winkelteile in Bezug auf andere Y's mit demselben l und unterschiedlichem m zu schreiben, Sie werden ein D_{mm'}(\theta) sehen.
Cool. Ich habe festgestellt, dass ich meine Antwort bekomme, indem ich mich umdrehe z Achse statt. Danke für die Hilfe!
Ein nettes Java-Applet ist hier: falstad.com/qmatom Sie können Orbitale mit Ihrer Maus drehen.
Einfache Rotation einer atomaren Orbitalwellenfunktion
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