Warum muss ein elektrisches Potential real sein, aber kein Potential in der Quantenmechanik?

Kurze (aber kryptische) Antwort: Komplexe Zahlen entstehen in der Quantenmechanik, weil wir Lösungen für die Differentialgleichung finden möchten

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x) = cf(x)$$ die nicht explodieren als $x\to \pm\infty$.

Lange Antwort:

Grundsätzlich ersetzt der Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik Funktionen (Observables) und Zahlen (Zustände) durch Matrizen (Quantenobservables) und Vektoren (Quantenzustände). Das erste Beispiel dafür (z. B. in Griffiths) ist, wo die Vektoren komplexwertige Funktionen sind und die "Matrizen" Differentialoperatoren sind, die auf den Raum solcher Funktionen wirken. Wie in der klassischen Mechanik möchten wir, um gemessenen Größen einen Sinn zu geben, dass die Ergebnisse der Messungen real sind, was analog dazu ist, dass die Eigenwerte der Matrizen, die unseren Quantenobservablen entsprechen, real sein müssen (mit anderen Worten, die Matrizen müssen hermitesch sein). Solange die endgültige, gemessene Antwort echt ist, gibt es keinen Grund, die Verwendung komplexer Zahlen auszuschließen.

Allerdings ist es etwas ganz anderes, keinen Grund zu haben, etwas auszuschließen, als einen Grund dafür zu haben! Warum kommen die komplexen Zahlen in der Quantenmechanik vor? Dies kann wahrscheinlich zumindest teilweise mit der Beziehung zwischen den Positions- und Impulsoperatoren zusammenhängen. Der Positionsoperator ist nicht schwer zu erklären. Wenn wir die Wellenfunktion nehmen$\psi$(eigentlich das Quadrat seiner Norm,$|\psi|^2$) als Wahrscheinlichkeitsverteilung, die uns sagt, wo sich wahrscheinlich ein Teilchen befindet, dann das Integral

$$\langle x \rangle = \int x\,|\psi(x)|^2dx$$ misst den erwarteten Wert der Position des Partikels. Allerdings der Impulsoperator $\hat{p} = i\frac{\partial}{\partial x}$ist schwieriger zu interpretieren. Eine Möglichkeit ist, dass Sie wissen, dass der Impuls des Teilchens (der Welle) mit der Ableitung der Wellenfunktion zusammenhängen sollte. Aber dann würden Sie überprüfen, ob aufgrund des Minuszeichens, das bei der partiellen Integration erhalten wird, der erste Ableitungsoperator $\frac{\partial}{\partial x}$nicht hermitesch ist (das ist der Teil, wo wir heimlich verlangen, dass unsere Wellenfunktionen nicht explodieren als $x\to \pm\infty$). Tatsächlich ist es so weit wie möglich davon entfernt, reale Eigenwerte zu haben, alle seine Eigenwerte sind rein imaginär! Natürlich können wir dies beheben, indem wir mit multiplizieren $i$, aber dazu mussten wir komplexe Zahlen in unsere Theorie einführen!

Darüber hinaus ist diese Definition von$\hat{p}$scheint fast unvermeidlich. Sobald Sie wissen, dass der Positionsoperator und der Impulsoperator einen Kommutator haben müssen, der gleich einer Konstante ist

$$[\hat{x},\hat{p}] = c$$ Sie haben ziemlich gezwungen $\hat{p}$ein Differentialoperator erster Ordnung sein. Die hermitesche Bedingung zwingt uns dann, die einzuführen $i$aus den oben genannten Gründen. Wir können also das Vorhandensein komplexer Zahlen in unserer Theorie auf die Forderung that zurückführen $\hat{x}$Und $\hat{p}$haben eine Kommutierungsbeziehung ungleich Null. Warum dies notwendig ist, hat auch eine interessante Antwort, aber ich werde mein Geschwafel hier beenden!

Imaginäre Zahlen sind sehr nützlich für Berechnungen, aber wie der Name schon sagt, sind sie imaginär, nicht real. Wenn Sie also etwas in der realen Welt messen , können Sie nur erwarten, echte Zahlen zu erhalten . Dies gilt sowohl für die Elektrodynamik als auch für die QM, Erwartungswerte von quantenmechanischen Observablen (dh Messungen) werden sich immer als real erweisen.

Imaginäre Zahlen sind nützlich bei der Beschreibung von Wellen und kommen natürlicherweise in der Quantenmechanik vor.