Kleine Verwirrung über den Aharonov-Bohm-Effekt

Mir ist vor allem die physikalische Interpretation des Aharonov-Bohm-Effekts (AB-Effekt) sowie die entsprechende mathematische / differentielle geometrische Interpretation bekannt.

Was mich jedoch etwas verwirrt, ist der physikalische Teil der Ableitung, der dazu führt. In einer "heuristischen" Beschreibung bringt man nämlich normalerweise Trajektorien hervor, nämlich dass entweder "ein Elektron, das sich in die eine Richtung und ein anderes in die andere Richtung um den Zylinder bewegt, eine Phasenverschiebung aufnimmt" oder ein "Elektron, das sich um den Zylinder bewegt, aufnimmt". eine Phasenverschiebung gegenüber dem ursprünglichen Wert".

In QM gibt es jedoch keine Trajektorien, obwohl es natürlich den Pfadintegral-Standpunkt gibt, und ich weiß, dass der AB-Effekt auch aus dieser Perspektive angegangen werden kann (z. B. Sakurai). Buuuut, in einem ungarischen Lehrbuch habe ich eine besonders einfache Möglichkeit gesehen, die Phasenverschiebung herzuleiten.

Lassen C der (Voll-)Zylinder sein R 3 und lass M = R 3 ∖ C . Die Mannigfaltigkeit M ist nicht kontrahierbar, also gilt Poincarés Lemme nicht. Insbesondere wenn A ist das Vektorpotential,

∇ × A = B = 0
bedeutet nicht, dass es ein global definiertes Skalarfeld gibt χ so dass A = ∇ χ .

Lassen ψ sei die Wellenfunktion, die die Schrödinger-Gleichung erfüllt

ich ℏ ∂ T ψ = − ℏ 2 2 M D 2 ψ
mit
D = ∇ + ich Q A
die kovariante Ableitung. Ich nehme an, die richtige Interpretation sollte das sein ψ beschreibt einfach den Zustand eines Elektrons, das am Zylinder gebeugt wird. Lassen ψ 0 sei die dem Fall entsprechende Wellenfunktion A = 0 .

Lassen Sie uns nun partitionieren M in zwei Hälften, M + Und M − so dass beide Domänen kontrahierbar sind. Da sie zusammenziehbar sind, mit B = 0 , kann man Eichtransformationen wählen χ + Und χ − ausschalten" A . Ablegen der ± Zeichen, diese Messfunktion ist gegeben durch

χ ( X ) = − ∫ X 0 X A ( j ) ⋅ D j
wobei das Integral über eine beliebige Kurve durchgeführt wird, die den beliebigen Anfangspunkt verbindet X 0 mit dem Zielpunkt X (da das Integral wegunabhängig ist).

Seit χ schaltet sich aus A (in einem der M ± Domänen), wir haben

ψ 0 ( X ) = e − ∫ X A ( j ) ⋅ D j ψ ( X ) .

Rückwärtsfahren, haben wir

ψ ( X ) = e ∫ X A ( j ) ⋅ D j ψ 0 ( X ) .

Nun führen wir dieses Verfahren an beiden Trivialisierungen durch und vergleichen sie:

ψ + ( X 1 ) / ψ − ( X 1 ) = e ∫ γ + X 1 A ( j ) D j e − ∫ γ − X 1 A ( j ) D j = exp ⁡ ( ∮ A ( j ) ⋅ D j ) .
(Wahrscheinlich sind mir einige heruntergefallen Q s und ℏ s irgendwo, hat aber keinen Einfluss auf die grundlegende Methode)

Frage:

Ich stelle mir vor, dass, wenn die Beugung am Zylinder tatsächlich stattfindet, das gebeugte Elektron durch eine Wellenfunktion beschrieben wird ψ , insbesondere eine Wellenfunktion, die einwertig ist .

Wenn die Wellenfunktion einwertig ist, sollten wir eine wohldefinierte haben ψ ( X 1 ) , und wir können nicht unterscheiden ψ + ( X 1 ) Und ψ − ( X 1 ) Wellenfunktionen.

Entgegen dem, was der verbindungstheoretische Hintergrund vermuten lässt, haben wir aber eigentlich keinen Paralleltransport berechnet, sondern eine Eichtransformation. Die beiden Wellenfunktionen müssen also nicht übereinstimmen, da sie in unterschiedlichen Spurweiten vorliegen. Aber warum vergleichen wir sie dann ? Sie zu vergleichen und zu sagen, dass sie sich unterscheiden, wäre so, als würde man einen Vektor in zwei verschiedenen Koordinatensystemen mit sich selbst vergleichen und sagen, dass sie sich unterscheiden, weil die Komponenten nicht übereinstimmen.

So

  • Wenn diese Ableitung "richtig" ist, warum vergleichen wir dann Wellenfunktionen in verschiedenen Messgeräten? Insbesondere, warum erwarten wir davon physikalisch aussagekräftige Ergebnisse?

  • Wenn die Ableitung falsch ist, wie kann man dann auf einfache Weise zeigen, dass die Phasenverschiebung gegeben ist durch ∮ A , das nicht auf Pfadintegrale angewiesen ist ?

Diese Ableitung ist ein Beispiel für übermäßigen mathematischen Formalismus, der die Physik verwirrt. Es kann richtig gemacht werden, aber im Moment ist es physikalisch völlig falsch, weil es die Tatsache nicht nutzt, dass sich die Ladung langsam bewegen muss. Es werden nur vertraut aussehende mathematische Operationen durchgeführt, bis die Antwort zufällig herausfällt.
@knzhou Seit ich diese Frage gestellt habe, konnte ich andere Quellen konsultieren (zum Beispiel Ballantines Buch), die dieselbe Ableitung enthalten - zwei überlappende Trivialisierungen einrichten und eine "freie" Wellenfunktion separat transformieren. Keine Quelle über den AB-Effekt, die ich gelesen habe, hat jemals etwas darüber gesagt, dass sich Ladungen langsam bewegen müssen. Bitte näher erläutern?
Ja, werde ich tun, sobald ich an einen Computer komme.

Antworten (3)

Diese "Ableitung" trifft einen meiner Lieblingsärgernisse, nämlich dass mathematische Behandlungen topologischer Phasen die Phasenverschiebung, die sich aus einem physikalischen Prozess ergibt, ständig mit abstrakten, physikalisch bedeutungslosen Phasen verwechseln, die durch blindes Ineinanderstecken von Gleichungen berechnet werden.

Physische und formale Phasen

Der Aharanov-Bohm-Effekt ist nicht einmal das schlechteste Beispiel; Dieser Preis geht an alle. Jeder nimmt eine Phase auf e ich ϕ wenn ihre Positionen physisch ausgetauscht werden, dh wenn zwei von ihnen von einem Experimentator aufgenommen und vertauscht werden, werden die Anyons langsam bewegt, und so weiter, vorausgesetzt, es gibt keine zusätzlichen externen Felder. Dies wird jedoch immer wieder mit der Phase verwechselt, die sich aus dem formalen Vertauschen zweier Variablen in der Vielteilchen-Wellenfunktion ergibt,

ψ ( X 1 , X 2 , … ) = e ich θ ψ ( X 2 , X 1 , … ) .
Es ist trivial zu beweisen, dass diese formale Phase immer ist ± 1 in irgendeiner Dimension, was selbst sehr befähigte Mathematiker zu der Behauptung verleitet, dass irgendjemand nicht existieren kann . Die meisten einführenden Bücher zur Quantenmechanik, die versuchen, alle zu behandeln, machen genau diesen Fehler und murmeln dann etwas Falsches über die Topologie, wodurch die formale Phase davon abweichen kann ± 1 . Es ist ein Chaos. (Für eine gute Behandlung siehe hier .)

In ähnlicher Weise ist die Aharanov-Bohm-Phase die Tatsache, dass ein Teilchen eine zusätzliche Phase aufnimmt e ich θ beim Transport um einen Fluss herum. Es ist leicht zu erkennen, woher sowohl die Aharanov-Bohm- als auch die Anyon-Phase kommen, wenn Sie das Pfadintegral verwenden. Mathematisch denkende Studenten tun dieses auf Trajektorien basierende Argument oft als "heuristisch" ab, aber das verfehlt den Punkt, weil es in der Physik der Situation explizit um Trajektorien geht. Sie können die Phasenverschiebung zwischen zwei Trajektorien nicht leicht erkennen, wenn Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung verwenden.

Wem das Wegintegral nicht gefällt, der kann diese Phasen auch mit dem Adiabatensatz herleiten: Fange ein Teilchen in einer Kiste am Ort ein R und transportieren Sie die Box um das Flussmittel herum. Der Messanschluss A funktioniert genau wie die Berry-Verbindung auf den Staaten | R ⟩ , und die Ableitung geht dann genau so vor wie die formale Faserbündelableitung unten. Beachten Sie, dass sowohl das Pfadintegral als auch der adiabatische Satz ausdrücklich verlangen, dass der Transport langsam ist. Im ersteren Fall geht es darum, eine zusätzliche Abholung zu vermeiden ∫ P ⋅ D X Phasen, und im letzteren Fall ist es eine Bedingung des Adiabatensatzes.

Eine korrekte Faserbündelableitung

Das Argument, das Sie vorgebracht haben, beruht auf dem Vergleich von Wellenfunktionen in zwei verschiedenen Messgeräten, was physikalisch bedeutungslos ist. Hier ist eine korrekte Herleitung.

Wie Sie wissen, können wir das Eichfeld durch a beschreiben U ( 1 ) -Bündel vorbei M . Alle diese Bündel sind trivial, weshalb die meisten Kurse nicht darüber sprechen; es macht die Sache nur komplizierter. Angenommen, wir haben uns trotzdem für die Verwendung von Paketen entschieden und diese abgedeckt M mit zwei Flicken. Dann können wir die aufgenommene Phase berechnen, indem wir ein Teilchen um den Fluss herum wie folgt transportieren.

  • Integrieren Sie im ersten Patch ∫ A ⋅ D X .
  • Wenn das Partikel vom ersten Patch zum zweiten übergeht, fügen Sie eine Phase hinzu, um die Übergangsfunktion zwischen den Patches zu berücksichtigen.
  • Integrieren Sie im zweiten Patch ∫ A ⋅ D X .
  • Wenn das Partikel vom zweiten Patch zurück zum ersten geht, fügen Sie eine weitere Übergangsfunktionsphase hinzu.

Da das Bündel trivial ist, können die Übergangsfunktionen trivial gewählt werden, wodurch auf den Nicht-Bündel-Formalismus reduziert wird. Wir könnten uns aber auch dafür entscheiden, die Verbindung innerhalb jedes Patches wegzumessen. Dann nimmt das Teilchen überhaupt keine Phase auf, wenn es parallel durch die Patches transportiert wird (wieder unter der Annahme, dass es sich langsam bewegt, ohne zusätzliche externe Felder, dynamische Phasen ignoriert usw.), nimmt aber Phasen von nichttrivialen Übergangsfunktionen auf. Da die Antwort natürlich eine physikalische Größe ist, wird sie in beiden Fällen gleich berechnet. Ihr Text hat dies gerade explizit gezeigt.

Verwendung der gefälschten Ableitung

Der Vergleich von Wellenfunktionen in zwei verschiedenen Messgeräten hat nichts mit dem physikalischen Vorgang beim Aharanov-Bohm-Effekt zu tun, aber Ihr Text liefert im Grunde zufällig die richtige Antwort; Es gibt nur eine Antwort, die Sie in dieser einfachen Situation möglicherweise erhalten könnten. Glücklicherweise ist der Aufbau Ihres Textes für eine andere Sache nützlich: das Finden des Spektrums von Partikeln auf einem Ring.

Angenommen, ein Teilchen ist auf einen Ring beschränkt, durch den ein Fluss fließt. Wenn es keinen Fluss gäbe, wären die Energieeigenzustände

ψ N ( θ ) ∝ e ich N θ , E N ∝ N 2 .
Nehmen wir nun an, dass der Fluss eingeschaltet ist, was eine Aharanov-Bohm-Phase ergibt e ich ϕ . Normalerweise müssen Sie die Schrödinger-Gleichung mit einem Vektorpotential lösen, um das Spektrum zu erhalten, aber mit dem Faserbündel-Setup können wir es einfach auf jedem Patch auf Null setzen. Angenommen, wir setzen eine der Übergangsfunktionen ebenfalls auf trivial und lassen den anderen Patch-Schnittpunkt liegen θ = 0 , wir haben
lim θ → 0 + ψ N ( θ ) = e ich ϕ lim θ → 2 π − ψ N ( θ )
Wo ψ N ( θ ) erfüllt die Schrödinger-Gleichung für Nullvektorpotential. (Natürlich bleibt die Wellenfunktion einwertig, solange wir uns daran erinnern, dass es nur sinnvoll ist, sie innerhalb eines Patches mit sich selbst zu vergleichen.) Dann haben wir es
ψ N ( θ ) ∝ e ich ( N − ϕ / 2 π ) θ , E N ∝ ( N − ϕ / 2 π ) 2
was eine messbare Änderung im Spektrum ergibt. Dies ist ein Fall, in dem Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung wollen, keine Pfadintegralbahnen, aber das liegt daran, dass die Physik völlig anders ist.

Danke für die Antwort. Mein einziges Problem ist, dass ich es in der von Ihnen angegebenen "Faserbündelableitung" nicht trivial finde, zu motivieren, dass die Menge von Interesse ist ∮ A . Vielleicht ist es eigentlich trivial, aber ich kann es jetzt nicht sehen. Könnten Sie eine Quelle angeben, die diese Angelegenheit rigoros behandelt, aber vorzugsweise ohne den Weg des integralen Formalismus? Um es verständlicher zu machen, wonach ich suche, werde ich eine Hintergrundgeschichte geben. Ich helfe meinem Betreuer oft beim Praxisseminar eines GR-Kurses, den er hält (ich forsche in GR). Sein Kurs ist nicht sehr mathematisch, also behandle ich oft einige (Fortsetzung)
des differentiellen geometrischen Hintergrundes im Praxisseminar. Ich kenne einen schönen und rigorosen Beweis, dass das Verschwinden des Krümmungstensors (in einem offenen Bereich) eine triviale Holonomie impliziert, wenn die Schleife nullhomotop ist. Ich kenne kein einfach zu zeigendes GR-Beispiel für flache Holonomie, um also die Folge topologischer Hindernisse zu zeigen, beabsichtige ich, den AB-Effekt als Beispiel zu zeigen. Ich bevorzuge jedoch einen Alles-oder-Nichts-Ansatz, und ich finde, der vielleicht strengste Punkt bei all dem ist die physische Motivation, mit der die Phasenverschiebung zusammenhängt ∮ A .
Der Grund, warum ich Pfadintegrale vermeiden möchte, es sei denn, es ist absolut notwendig, ist, dass unsere üblichen QM-Kurse dies nicht abdecken, und ich möchte das Seminar daher nicht auch mit Pfadintegralen belasten.
@Uldreth Nun, ∮ A fällt aus der klassischen Aktion heraus (bei der Sie den Elektromagnetismus durch Hinzufügen von an berücksichtigen A ⋅ D X Begriff), und wie Sie wissen, verwendet das Pfadintegral direkt die klassische Aktion in e ich S . Ich verstehe, warum Sie es vielleicht nicht verwenden möchten, aber die Verbindung zwischen Quantenphasen und klassischer Aktion ist wirklich sehr grundlegend, also macht es alles viel schwieriger, es nicht zu verwenden. Sie können jedoch auskommen, indem Sie stattdessen die Beerenphase verwenden.
@Uldreth Ich habe oben kurz darauf angespielt, aber die Aharanov-Bohm-Phase kann auch als Berry-Phase angesehen werden, die mit dem langsamen Transport der Partikelposition verbunden ist R in einer Schleife, wobei die Berry-Verbindung die Messgerät-Verbindung ist. Sie können Ableitungen davon nachschlagen, indem Sie einfach diese Schlüsselwörter googeln. Das könnte also funktionieren.
@Uldreth Tatsächlich ist hier möglicherweise ein noch besserer Weg: Argumentieren Sie zuerst, dass die Berry-Phase genau null ist, wenn A = 0 . (Wenn Sie hinterhältig sind, könnten Sie dies sogar stillschweigend annehmen, ohne es zu sagen; die meisten würden es nicht bemerken.) Dann ist die einzige Phase, die Sie durch den Transport in einer Schleife aufnehmen, die der Übergangsfunktion. Verwenden Sie schließlich das Argument aus Ihrem Buch in umgekehrter Reihenfolge, um zu zeigen, dass durch Rückgängigmachen der von ihnen durchgeführten Eichtransformationen (die die physikalische Phase nicht ändern sollten) diese Übergangsfunktionsphase genau ist ∮ A .
Ich frage mich nur, ob es nicht immer noch möglich sein sollte, dies aus der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung abzuleiten, ohne adiabatisches Schalten zu verwenden? (und ohne Pfadintegral?)

Das ursprüngliche Bohm-Aharonov-Proplem [Y. Aharonov und D. Bohm Phys. Rev. 115, 485 (1959)] betrifft die Streuung von Elektronen an einem Solenoid. Sie geben eine schöne Lösung für die Schrödinger-Gleichung als Summe von Bessel-Funktionen, deren Darstellung Spaß macht:Bohm mit 1,4 Flusseinheiten durch Solenoid

Das Bild ist der Realteil der Wellenfunktion für den Fall von 1/4 Flusseinheit durch das Solenoid. Von rechts kommende Welle. Die BA-Phasenverschiebung führt dazu, dass die stromabwärtigen oberen und unteren Wellenberge um 1/4 einer Wellenlänge versetzt sind. Die Wellenfunktion selbst ist jedoch überall einwertig.

Wenn die Ableitung falsch ist, wie kann man dann auf einfache Weise zeigen, dass die Phasenverschiebung gegeben ist durch , die nicht auf Pfadintegralen beruht?

Während die BA-Verschiebung viele Male experimentell bestätigt wurde, glaube ich, dass all diese Ableitungen des physikalischen Effekts (Verschiebung) auf mathematischen Argumenten beruhen A außerhalb des Solenoids sind nicht überzeugend, vielleicht völlig ungültig.

Das Hauptproblem besteht darin, dass all diese Ableitungen dieses Schleifenintegral entlang der Schleife annehmen ∂ S um das Solenoid herum ist der magnetische Fluss durch die Oberfläche gleich S das wird durch die Schleife definiert:

∮ ∂ S A ⋅ D l = ∬ S B ⋅ D S       ( 1 )

Während dies für die Vektorpotentiale gilt, die in den meisten in Physiklehrbüchern diskutierten Situationen betrachtet werden, ist dies keine notwendige Eigenschaft eines Vektorpotentials. Die einzigen Bedingungen, die das Vektorpotential in der EM-Theorie einschränken, sind

B = ∇ × A ,
E + ∇ φ = − ∂ T A .

Aus der ersten Bedingung lässt sich die Formel (1) ableiten, aber nur wenn A sich an allen Punkten der Oberfläche gut verhält (einschließlich der Oberfläche und im Inneren des Solenoids). Wenn dies nicht der Fall ist (wenn eine Diskontinuität oder Singularität vorliegt), schlägt die Ableitung fehl. Folglich gibt es gültige Funktionen A ( X ) die, wenn sie außerhalb des Elektromagneten integriert sind, nicht gehorchen (1).

Zum Beispiel gibt es eine Funktion A 0 ( X ) das außerhalb des Solenoids verschwindet (also gibt es ∇ × A = 0 trivial) und ist nur innerhalb des Solenoids ungleich Null. Es hat auch notwendigerweise eine Diskontinuität auf der Oberfläche des Solenoids (oder es gibt eine andere Funktion, die über die Oberfläche kontinuierlich ist, aber dann eine Singularität innerhalb des Solenoids hat). Also das Verhältnis B = ∇ × A an der Magnetoberfläche versagt, das gilt aber für alle Funktionen, auch für die Standardfunktion, wenn die Stromverteilung auf der Magnetoberfläche unendlich dünn ist.

Diese Details sollten die Lösung der Schrödinger-Gleichung nicht beeinflussen, wenn der Solenoid als unendliche Potentialbarriere modelliert wird (zugegebenermaßen ist dies nicht sehr klar und vielleicht gibt es einen Effekt der Diskontinuität oder Singularität sogar durch die unendliche Potentialwand ...).

Nur wenn wir das Vektorpotential auf die Familie beschränken, die ein Schleifenintegral ungleich Null hat, können wir einen Effekt des magnetischen Flusses auf den erhalten ψ Funktion.

Aus diesen Gründen denke ich, dass es gut ist, entweder 1) nach einem Argument zu suchen, warum nur bestimmte Vektorpotentiale erlaubt sind (was wahrscheinlich nicht sehr fruchtbar zu sein scheint, wenn man bedenkt, dass sie nur ein Hilfsmittel sind, um das physikalische Feld zu erhalten) oder 2) Suchen Sie nach anderen Erklärungen, vorzugsweise nach solchen, die sich nicht auf die besondere Eigenschaft des Vektorpotentials stützen.

Es gab einige faszinierende Arbeiten zur Möglichkeit einer klassischen Erklärung der BA-Verschiebung, siehe zum Beispiel Artikel von Timothy Boyer, der argumentiert, dass es eine klassische EM-Wechselwirkung zwischen den Elektronen und dem metallischen Solenoid gibt, was darauf hindeutet, dass die Erklärung viel mehr sein könnte klassisch und erfordern keine besonderen Eigenschaften des Vektorpotentials:

https://philpapers.org/rec/BOYCEA

https://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1003602524894

Das klingt wie ein übermäßiger mathematischer Formalismus, der einen sehr einfachen physikalischen Punkt trübt. Das Vektorpotential in einem idealen Solenoid ist es nicht singulär. Es wird oft ausdrücklich in Elektromagnetismus-Kursen auf Erstsemesterniveau niedergeschrieben. Es gibt keinen Grund, dass es singulär sein sollte, anders als beim magnetischen Monopol, denn das Faserbündel ist hier trivial.
Es steht Ihnen frei, sich selbst zu verwirren, indem Sie sich zwingen, mit künstlich singulären Eichpotentialen zu arbeiten, aber das macht die eigentliche Ableitung nicht ungültig, die vollkommen unkompliziert ist.
Zu "künstlich singulären Eichpotentialen": Glauben Sie, dass einige Vektorpotentiale außerhalb des Solenoids korrekter sind als andere, auch wenn sie alle die Definition erfüllen? ∇ × A = B in dieser region? Ich tu nicht. Vektorpotential muss nicht überall differenzierbar sein.
Ich glaube, dass alles Reale nicht nur differenzierbar, sondern unendlich differenzierbar ist. Daher denke ich, dass es physikalisch inakzeptabel ist, gegen dieses Prinzip zu verstoßen, selbst für etwas nicht Beobachtbares wie das Eichpotential.
Differenzierbar oder diskontinuierlich, das sind nur Eigenschaften physikalischer Modelle. Jeder ist in manchen Situationen nützlich. Nicht differenzierbare Funktionen kommen in der Physik häufig vor und sind im Allgemeinen kein Problem. Auch solche Funktionen können wir mit Hilfe von Deltaverteilungen differenzieren.
Ich bin sicher, Sie können sich dafür entscheiden , etwas Glattes mit etwas Singulärem darzustellen, aber das macht die Dinge künstlich verwirrender. Wenn Sie sich durch diese Wahl versehentlich verwirren und glauben, dass der Aharanov-Bohm-Effekt nicht existiert, ist das keine Widerlegung, sondern nur Ihre eigene Schuld.
Nehmen Sie das Beispiel der Dirac-Delta-Funktion. Das taucht bei der Normalisierung von Positionszuständen im QM auf. Wenn Sie Dirac-Deltas nicht akzeptiert haben, könnten Sie fälschlicherweise argumentieren, dass Positionszustände nicht existieren können, sodass die Schrödinger-Gleichung modifiziert werden muss. Aber das ist alles falsch; Das offensichtliche Problem ergibt sich nur aus der Verwendung einzelner Objekte in Ihrem Modell, und Sie können alle physikalischen Ergebnisse umformulieren, ohne etwas Singuläres zu verwenden.
Sie bestehen darauf, dass ich verwirrt bin, aber bisher haben Sie kein Argument dafür geliefert. Es gibt keine Regel in der Physik oder Mathematik, die es verbietet, Funktionen zu verwenden, die eine Diskontinuität oder Singularität haben. Das gilt für physikalische Größen wie E , B , J , ρ . Und noch mehr gilt für unphysikalische Hilfsfunktionen wie z A . Viele nützliche Modelle zeigen solche Diskontinuitäten, wie das Coulomb-Potential von Punkt-, Linien- und Oberflächenladungsverteilungen. Was Ihr hypothetisches Beispiel mit der Dirac-Delta-Funktion betrifft, so verstehe ich nicht, was Sie meinen.
Gehen Sie zurück zur Mechanik und betrachten Sie die Gleichung F = − D U / D X . Wenn man wählte U nicht differenzierbar sein, F kann nicht definiert werden, also muss das bedeuten, dass die Newtonschen Gesetze falsch sind, oder? Das bedeutet, dass wir nicht vorhersagen können, was in einem realen mechanischen System passieren wird. Aber dieses Argument ist Unsinn, denn es gibt nichts Einzigartiges an dem, was tatsächlich passiert. Sie können Ihre mathematische Beschreibung immer schlechter wählen, als sie sein muss, aber das geht mich nichts an.
Offensichtlich müssen Sie wissen, dass Diskontinuitäten und Singularitäten in E , B , J Und ρ sind alle physikalisch nicht existent. In Wirklichkeit ist alles verschmiert. Sie haben nicht einzelnen physikalischen Objekte verwenden, und Sie müssen hier sicherlich kein einzelnes Eichpotential verwenden, also warum sollten Sie?
> „Wenn man wählen würde U nicht differenzierbar sein, F kann nicht definiert werden, also muss das bedeuten, dass die Newtonschen Gesetze falsch sind, oder?" Nein, es bedeutet, dass die Funktion nicht differenzierbar ist und im Modell angemessen sein kann oder nicht. Manchmal Singularität U ist in Ordnung, wie die Singularität in der Newtonschen Gravitationspotentialenergie G M 1 M 2 / | R 1 − R 2 | . > „Natürlich müssen Sie wissen, dass Diskontinuitäten und Singularitäten in E , B , J Und ρ sind alle physikalisch nicht existent. In Wirklichkeit ist alles verschmiert." Das weiß niemand so genau.
> "Sie müssen hier sicherlich kein singuläres Eichpotential verwenden, also warum sollten Sie?" wir müssen nicht, aber wir können , und es ändert das Ergebnis (Wert von ∮ A ⋅ D l ). Es gibt keine Regel in der EM-Theorie, afaik, die Vektorpotentiale verbietet, die irgendwo außerhalb des interessierenden Bereichs eine Singularität aufweisen. Im interessierenden Bereich - außerhalb des Solenoids - A = 0 ist ein vollkommen feines Vektorpotential. Ein solches Potential hat eine Singularität innerhalb des Solenoids, aber es gibt auch dort ein korrektes Magnetfeld.
Können Sie ein Beispiel für einen Fall nennen, in dem die Auswahl von etwas als singulär, obwohl es nicht sein muss, jemals zu einer nicht trivialen und korrekten Vorhersage geführt hat?
Ich meine, ich bin sicher, Sie können das Vektorpotential so wählen, dass es singulär ist. Sie könnten es auch so wählen, dass es quaternionwertig oder Grassmann-wertig oder mehrwertig ist oder welches andere mathematische Material Sie einwerfen möchten. Vielleicht könnten Sie die ultrafinitistische Position einnehmen und die echte Linie loswerden, also die Ableitung funktioniert nicht. Es gibt unendlich viele zusätzliche mathematische Komplikationen, die Sie hinzufügen können. Welche Komplikationen Ihrer Meinung nach "natürlich" sind, ist ein soziologisches Phänomen, das von Problemen herrührt, über die sich mathematische Physiker gerne Gedanken machen. Aber die eigentliche Physik interessiert das nicht.
Die Motivation für ein Potential mit Singularität innerhalb des Solenoids besteht darin, dass es dies zulässt A = 0 außerhalb des Solenoids, was eine ganz natürliche Lösung der Gleichung ist ∇ × A = 0 Dort. Wenn Sie Quaternion-bewertet finden können A das gibt ein korrektes Magnetfeld außerhalb und innerhalb des Solenoids, ich denke, das wäre auch gültig.
> "Können Sie ein Beispiel für einen Fall geben, in dem die Wahl eines Singulars, obwohl dies nicht der Fall sein muss, jemals zu einer nicht trivialen und korrekten Vorhersage geführt hat?"Ja - Behandlung physikalischer Objekte als Punktteilchen. Das bringt Singularität in Feld/Wechselwirkung, wenn sich die Partikel treffen, aber es ermöglicht nachvollziehbare Modelle, die nützlich sind.
Ich denke, wir müssen uns darauf einigen, anderer Meinung zu sein, da keiner von uns den anderen überzeugen wird. Ich bin immer noch der Meinung, dass die Natur keine der funktionell-analytischen Feinheiten kennt oder sich darum kümmert, die Menschen erfunden haben. Ich verstehe jedoch, wie man anders denken könnte.
Eigentlich stimme ich zu, dass sich die Natur nicht um die von Menschen erfundene Mathematik kümmert. Deshalb mag ich die Idee nicht, dass nur eine bestimmte Wahl des Potentials (kontinuierlich, diskontinuierlich) "richtig" ist, wenn es keinen Einfluss auf physikalische Felder hat. Aber ok, lassen wir das jetzt.
Kleine Verwirrung über den Aharonov-Bohm-Effekt
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