Wie sind Anyons möglich? (Andere Version)

Ich weiß, dass diese Frage mehrfach gestellt wurde (insbesondere siehe Wie sind alle möglich? ), auch als Nebenprodukt anderer Fragen, da ich keine vollständig zufriedenstellenden Antworten gefunden habe, reiche ich hier eine andere Version der Frage ein, die in a angegeben ist sehr präzise Form, die nur sehr elementare allgemeine Annahmen der Quantenphysik verwendet . Insbesondere verwende ich keine Operatoren (gekennzeichnet durch$P$in anderen Versionen), die den Austausch von Partikeln darstellen.

Nehmen Sie an, Sie haben es mit einem System aus ein paar identischen Teilchen zu tun, von denen sich jedes bewegt$R^2$. Unter Vernachlässigung der Tatsache, dass die Teilchen nicht unterscheidbar sind, beginnen wir mit dem Hilbert-Raum$L^2(R^2)\otimes L^2(R^2)$, das ist isomorph zu$L^2(R^2\times R^2)$. Nun unterteile ich den Rest meines Problems in mehrere elementare Schritte.

(1) Jedes Element$\psi \in L^2(R^2\times R^2)$mit$||\psi||=1$definiert einen Zustand des Systems, wobei$|| \cdot||$ist der$L^2$Norm.

(2) Jedes Element der Klasse$\{e^{i\alpha}\psi\:|\; \psi\}$zum$\psi \in L^2(R^2\times R^2)$mit$||\psi||=1$definiert denselben Zustand, und ein Zustand ist eine solche Menge von Vektoren.

(3) Jeder$\psi$wie oben als komplexwertige Funktion definiert, bis auf null (Lebesgue) Maßsätze, auf$R^2\times R^2$.

(4) Betrachten Sie nun den "ausgelagerten Zustand", der (aufgrund von (1)) definiert ist durch$\psi' \in L^2(R^2\times R^2)$durch die Funktion (bis zu einem Nullmaßsatz):

$$\psi'(x,y) := \psi(y,x)\:,\quad (x,y) \in R^2\times R^2$$

(5) Die physikalische Bedeutung des Zustands dargestellt durch$\psi'$ist die eines staatlich erhaltenen Formulars$\psi$wobei die Rolle der beiden Teilchen vertauscht ist.

(6) Da die Teilchen identisch sind, wird der Zustand dargestellt durch$\psi'$muss derselbe sein wie der dargestellt durch$\psi$.

(7) Im Hinblick auf (1) und (2) muss es sein:

$$\psi' = e^{i a} \psi\quad \mbox{for some constant $a\in R$.}$$

Hier hört die Physik auf. Ich werde von nun an nur noch Mathematik verwenden.

(8) Angesichts von (3) kann man die obige Identität äquivalent umschreiben als

$$\psi(y,x) = e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [1]\:.$$

(9) Seit$(x,y)$in [1] ist jedes Punktpaar bis zu einer Nullmaßmenge, ich darf ihre Namen ändern, um sie zu erhalten

$$\psi(x,y) = e^{ia}\psi(y,x) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [2]$$
(Beachten Sie, dass der Nullmaßsatz, bei dem die Identität fehlschlägt, ein Nullmaßsatz unter der Reflexion bleibt $(x,y) \mapsto (y,x)$, da es sich um eine Isometrie von handelt $R^4$und das Maß von Lebesgues ist unter Isometrien unveränderlich.)

(10) Da wiederum gilt [2] fast überall für jedes Paar$(x,y)$, darf ich wieder [1] auf der rechten Seite von [2] verwenden, um Folgendes zu erhalten:

$$\psi(x,y) = e^{ia}e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\:.$$
(Dies gilt sicherlich außerhalb der Vereinigung der Nullmaßmenge $A$wo [1] versagt und das durch Reflexion erhaltene $(x,y) \mapsto (y,x)$von $A$selbst.)

(11) Fazit:

$$[e^{2ia} -1] \psi(x,y)=0 \qquad\mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [3]$$

Seit$||\psi|| \neq 0$,$\psi$kann nicht überall verschwinden$R^2\times R^2$. Wenn$\psi(x_0,y_0) \neq 0$,$[e^{2ia} -1] \psi(x_0,y_0)=0$impliziert$e^{2ia} =1$und so:

$$e^{ia} = \pm 1\:.$$

Und daher sind anscheinend alle nicht erlaubt.

Wo ist der Fehler?

HINZUGEFÜGTE BEMERKUNG. (10) ist ein rein mathematisches Ergebnis. Hier ist eine andere Möglichkeit, es zu erhalten. (8) kann notiert werden als$\psi(a,b) = e^{ic} \psi(b,a)$für einige fest $c \in R$und alle $(a,b) \in R^2 \times R^2$(Ich vernachlässige das Problem der vernachlässigbaren Mengen). Zuerst wählen$(a,b)=(x,y)$und dann$(a,b)=(y,x)$wir erhalten bzw.$\psi(x,y) = e^{ic} \psi(y,x)$und$\psi(y,x) = e^{ic} \psi(x,y)$. Sie produzieren sofort [3]$\psi(x,y) = e^{i2c} \psi(x,y)$.

Das physikalische Argument (4)-(7), dass wir die Teilchen wieder permutiert haben und somit eine weitere neue Phase auftreten kann, trifft hier also nicht zu.

2. HINZUGEFÜGTE BEMERKUNG. Klar ist, sobald man schreiben darf

$\psi(x,y) = \lambda \psi(y,x)$für eine Konstante $\lambda\in U(1)$und alle $(x,y) \in R^2\times R^2$

Das Spiel ist vorbei:$\lambda$erweist sich$\pm 1$und alle sind verboten. Dies ist jedoch nur Mathematik. Meine Vermutung für einen Ausweg ist, dass der wahre Konfigurationsraum es nicht ist$R^2\times R^2$aber ein anderer Raum, dessen$R^2 \times R^2$ist die universelle Hülle.

Eine Idee (ziemlich grob) könnte die folgende sein. Man sollte davon ausgehen, dass Partikel von Grund auf nicht zu unterscheiden sind und bereits den Konfigurationsraum definieren, also so etwas wie$Q := R^2\times R^2/\sim$wo$(x',y')\sim (x,y)$iff$x'=y$und$y'=x$. Oder vielleicht die Menge subtrahieren$\{(z,z)\:|\: z \in R^2\}$zu$R^2\times R^2$bevor Sie den Quotienten nehmen, um zu sagen, dass Teilchen nicht am selben Ort bleiben können. Nehmen Sie der Einfachheit halber den erstgenannten Fall an. Es gibt eine (doppelte?) Abdeckkarte$\pi : R^2 \times R^2 \to Q$. Meine Vermutung ist folgende. Wenn man Wellenfunktionen definiert$\Psi$an$R^2 \times R^2$, definiert er automatisch mehrwertige Wellenfunktionen an$Q$. Ich meine$\psi:= \Psi \circ \pi^{-1}$. Das Problem vieler Werte spielt physikalisch keine Rolle, wenn die Differenz der beiden Werte (unter der Annahme, dass die Überdeckung eine doppelte ist) nur eine Phase ist und diese angesichts der Identifizierung geschrieben werden könnte$\sim$verwendet, um zu konstruieren$Q$aus$R^2 \times R^2$:

$$\psi(x,y)= e^{ia}\psi(y,x)\:.$$ Beachten Sie, dass die Identität nicht wörtlich interpretiert werden kann, weil $(x,y)$und $(y,x)$sind der gleiche Punkt in $Q$, also mein Trick zum Beweisen $e^{ia}=\pm 1$kann nicht umgesetzt werden. Die Situation ist ähnlich wie bei $QM$an $S^1$Induzierende mehrwertige Wellenfunktionen bilden seine universelle Hülle $R$. In diesem Fall schreibt man $\psi(\theta)= e^{ia}\psi(\theta + 2\pi)$.

3. HINZUGEFÜGTE BEMERKUNG Ich denke, ich habe das Problem gelöst, das ich gepostet habe, wobei ich mich auf das Modell einiger Anyons konzentriert habe, die auf Seite 225 dieses Papiers matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/bcp/bcp42/bcp42116.pdf von Trimok vorgeschlagen wurden. Das Modell ist einfach dieses:

$$\psi(x,y):= e^{i\alpha \theta(x,y)} \varphi(x,y)$$
wo $\alpha \in R$ist eine Konstante, $\varphi(x,y)= \varphi(y,x)$, $(x,y) \in R^2 \times R^2$und $\theta(x,y)$ist der Winkel in Bezug auf eine feste Achse des Segments $xy$. Man kann zu Koordinaten übergehen $(X,r)$, wo $X$beschreibt den Schwerpunkt und $r:= y-x$. Das Austauschen der Partikel bedeutet $r\to -r$. Ohne auf mathematische Details zu achten, sieht man tatsächlich: $$\psi(X,-r)= e^{i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A)$$ für eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn. (Bei Drehungen im Uhrzeigersinn ein Vorzeichen $-$erscheint in der Phase und beschreibt das andere Element der Zopfgruppe $Z_2$. Beachten Sie auch, dass z $\alpha \pi \neq 0, 2\pi$die Funktion verschwindet für $r=0$, nämlich $x=y$, und dies entspricht der Tatsache, dass wir den Satz entfernt haben $C$von Koinzidenzpunkten $x=y$aus dem Raum der Konfigurationen.)

Eine genauere Betrachtung zeigt jedoch, dass die Situation komplizierter ist: Der Winkel$\theta(r)$nicht gut definiert ist, ohne eine Referenzachse zu fixieren, wo$\theta =0$. Danach kann man z. B. annehmen,$\theta \in (0,2\pi)$, sonst$\psi$muss als mehrwertig betrachtet werden . Mit der Wahl$\theta(r) \in (0,2\pi)$, (A) gilt nicht überall. Betrachten Sie eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn von$r$. Wenn$\theta(r) \in (0,\pi)$dann gilt (A) in der Form

$$\psi(X,-r)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A1)$$ aber für $\theta(r) \in (\pi, 2\pi)$, und immer für eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn findet man $$\psi(X,-r)= e^{-i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{- i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A2)\:.$$ Bei unterschiedlichen Konventionen ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse. In jedem Fall ist ersichtlich, dass die Phase durch den Austauschvorgang abhängig ist$(x,y)$(auch wenn lokal konstant) und keine Konstante. Dies widerlegt meinen "No-Go-Beweis", beweist aber auch, dass sich der Begriff der Anyon-Statistik stark von dem Standard unterscheidet, der auf den Gruppen von Permutationen basiert, in denen die Phasen aufgrund des Austauschs von Partikeln konstant sind $(x,y)$. Infolgedessen unterscheidet sich der ausgetauschte Zustand vom ursprünglichen Zustand , anders als bei Bosonen oder Fermionen und entgegen der Vorstellung, dass Anyonen ununterscheidbare Teilchen sind. [Beachten Sie auch, dass im betrachteten Modell das Austauschen des anfänglichen Bosonenpaars bedeutet $\varphi(x,y) \to \varphi(y,x)= \varphi(x,y)$das ist $\psi(x,y)\to \psi(x,y)$. Das heißt, das Austauschen von Anyonen bedeutet nicht das Austauschen der zugehörigen Bosonen , und es ist richtig, da es sich um eine weitere physikalische Operation an verschiedenen physikalischen Subjekten handelt.]

Alternativ kann man an die Anyon-Wellenfunktion denken$\psi(x,y)$als mehrwertig , wiederum anders als ich in meinem "No-Go-Beweis" angenommen habe und anders als die Standardannahmen im QM. Dies erzeugt eine wirklich konstante Phase in (A). Es ist mir jedoch nicht klar, ob bei dieser Interpretation der vertauschte Zustand von Anyonen derselbe ist wie der ursprüngliche, da ich Dinge wie (falls vorhanden) Hilbert-Räume mehrwertiger Funktionen nie ernsthaft in Betracht gezogen habe und ich nicht verstehe, was geschieht mit der Strahlendarstellung von Zuständen. Dieses Bild ist jedoch physikalisch bequem, da es zu einer haltbaren Interpretation von (A) führt und sich die Aktion der Zopfgruppe als explizit und natürlich herausstellt.

Tatsächlich taucht eine letzte Möglichkeit auf. Man könnte sich mit (standardmäßig komplexwertigen) Wellenfunktionen befassen, die auf definiert sind$(R^2 \times R^2 - C)/\sim$wie wir wissen (siehe oben,$C$ist die Menge der Paare$(x,y)$mit$x=y$) und wir definieren die Swap-Operation nur in Phasen (damit mein "No-Go-Beweis" nicht angewendet werden kann und die Transformationen die Zustände nicht ändern):

$$\psi([(x,y)]) \to e^{g i\alpha \pi}\psi([(x,y)])$$

wo$g \in Z_2$. Dies kann auf viele Partikel erweitert werden, die zu der Geflechtgruppe vieler Partikel gelangen. Vielleicht ist es mathematisch bequem, aber physikalisch nicht sehr ausdrucksstark.

In dem in der erwähnten Arbeit diskutierten Modell ist jedoch ersichtlich, dass der Hilbert-Raum der Theorie bis auf eine unitäre Transformation nichts anderes als ein bosonischer Standard-Hilbert-Raum ist, da die betrachteten Wellenfunktionen aus denen dieses Raums gewonnen werden einer einheitlichen Karte, die mit einer singulären Spurtransformation verbunden ist, und gerade diese Singularität führt zu all der interessanten Struktur! Im ursprünglichen bosonischen System war die Singularität jedoch bereits vorhanden: Das Magnetfeld war eine Summe von Diracs Delta. Ich weiß nicht, ob es sinnvoll ist, irgendjemand unabhängig von seiner Dynamik zu denken. Und ich weiß nicht, ob dieses Ergebnis allgemeingültig ist. Ich vermute, dass das Verschieben der Singularität von der Statistik zur Interaktion und umgekehrtist genau das, was in der Pfadintegralformulierung passiert, wenn die externe Phase zur internen Aktion verschoben wird, siehe Tengens Antwort.