Ist das Symmetrisierungspostulat nach Landau Lifshitz unnötig?

Das Symmetrisierungspostulat ist dafür bekannt, dass Teilchen in der Natur entweder vollständig symmetrische oder vollständig antisymmetrische Wellenfunktionen haben. Nach diesen Postulaten werden diese Zustände als ausreichend angesehen, um alle möglichen Systeme identischer Teilchen zu beschreiben.

In Landau Lifshitz Quantum Mechanics kommt er jedoch auf der ersten Seite von Kapitel IX - Identität von Teilchen zu demselben Schluss, ohne ein Ad-hoc-Postulat aufstellen zu müssen.

Das geht so: Let ψ ( ξ 1 , ξ 2 ) sei die Wellenfunktion des Systems, ξ 1 Und ξ 2 bezeichnet die drei Koordinaten und die Spinprojektion für jedes Teilchen. Durch die Vertauschung der beiden Teilchen kann sich die Wellenfunktion nur um einen unbedeutenden Phasenfaktor ändern:

ψ ( ξ 1 , ξ 2 ) = e ich a ψ ( ξ 2 , ξ 1 )
Durch Wiederholung des Austauschs kehren wir zum ursprünglichen Zustand zurück, während die Funktion ψ wird multipliziert mit e 2 ich a . Daraus folgt das e 2 ich a = 1 oder e ich a = ± 1 . Daher
ψ ( ξ 1 , ξ 2 ) = ± ψ ( ξ 2 , ξ 1 )
Es gibt also nur zwei Möglichkeiten: Die Wellenfunktion ist entweder symmetrisch oder antisymmetrisch.

Anschließend wird erklärt, wie dieses Konzept auf Systeme mit einer beliebigen Anzahl identischer Teilchen usw. verallgemeinert werden kann.

Zusammenfassend wurde in dieser Begründung niemals ein Symmetrisierungspostulat formuliert. Ist "Verschiebung um einen unwichtigen Phasenfaktor" eine zu starke Anforderung, um die Identität von Partikeln sicherzustellen?

"Durch Vertauschen der beiden Teilchen kann sich die Wellenfunktion nur um einen unbedeutenden Phasenfaktor ändern" ist (für mich) ein Postulat

Antworten (2)

Die Art und Weise, wie Shankar das Problem angeht (S. 278), besteht darin, einen "Exchange Operator" einzuführen. P 1 , 2 , was Ihre beiden Partikel wie folgt vertauschen würde:

P 1 , 2 | ξ 1 , ξ 2 ⟩ = | ξ 2 , ξ 1 ⟩

Ich mag die Operatornotation, weil sie (zumindest für mich) klar macht, dass das zweimalige Anwenden des Operators nur der Identitätsoperator ist, da das zweimalige Vertauschen von zwei Partikeln Sie nur wieder in Ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzt:

P 1 , 2 2 | ξ 1 , ξ 2 ⟩ = | ξ 1 , ξ 2 ⟩ ⟶ P 1 , 2 2 = 1

Dies zeigt, dass die Eigenwerte des Swaps sind ± 1 , was bedeutet, dass Ihre Wellenfunktion nur entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist, obwohl implizit angenommen wird, dass das fragliche System tatsächlich ein Eigenvektor des Austauschoperators ist. Dies gilt für Partikel im Standardmodell in drei Dimensionen, aber nicht allgemein (siehe zum Beispiel anyons ).

Können wir mit diesem Ansatz irgendjemanden erreichen?
Wie erklärt er es dann jemandem?
-1: (Ich werde die Ablehnung gerne entfernen, wenn Sie die Antwort verstärken). Ihr Argument geht stillschweigend davon aus, dass ein Vektor, der den Zustand eines Systems identischer Teilchen darstellt, ein Eigenvektor des Austauschoperators ist. Diese Tatsache oder etwas Äquivalentes kann nicht abgeleitet werden; es ist eine zusätzliche physikalische Eingabe in das mathematische Modell. Mit anderen Worten, ein gewisses Postulat ist notwendig.
Es scheint richtig anzunehmen, dass der Vektor, der den Zustand zweier identischer Teilchen darstellt, ein Eigenvektor von ist P 1 , 2 2 weil zwei aufeinanderfolgende Austauschvorgänge den ursprünglichen Zustand wiedergeben. Und da P 1 , 2 2 pendelt mit P 1 , 2 dann der Vektor | ξ 1 , ξ 2 ⟩ ist auch ein Eigenvektor von P 1 , 2
@joshphysics: danke für den Kommentar; Ich habe meine Antwort bearbeitet, um sie zu integrieren. Ich muss zugeben, dass ich vorher nichts über irgendjemanden wusste (über meiner Gehaltsstufe als experimenteller Partikeldummkopf).
@Gilbert: P 2 ist per Definition Operatoridentität, also ist jede Funktion ihre Eigenfunktion. Obwohl Identität mit pendelt P , erlaubt dies nicht den Schluss, dass die in der Physik zu verwendenden Funktionen notwendigerweise Eigenfunktionen von sind P . Joshphysics oben hat in diesem Punkt recht, indem er die Eigenfunktion von annimmt P ist eine zusätzliche Annahme.
@ user26143 Nein. Die Bosonen und Fermionen stammen aus den eindimensionalen irreduziblen Darstellungen (IRs) der Permutationsgruppe. Die Verallgemeinerung auf höherdimensionale IRs ist als Parastatistik bekannt. Anyons hingegen stammen, grob gesagt, aus den IRs der reinen Zopfgruppe, nicht der Permutationsgruppe.

Schauen Sie sich den Abschnitt über Kapitel 17 Identische Teilchen in Ballentinern an, er weist nicht nur darauf hin, warum die Betrachtung der Permutationsoperatoren von zwei Teilchen in einer Mehrteilchenumgebung irreführend ist, sondern diskutiert auch einige Fehler in früheren Behauptungen.

Hallo user35388, kannst du das bitte kurz zusammenfassen? Wir erwarten, dass die Fragen größtenteils in sich abgeschlossen sind.
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