Konstruieren des Singulett-Zustands im zweiten Quantisierungsformalismus

Ich versuche, den zweiten Quantisierungsformalismus zu verstehen. Nehmen wir an, wir haben ein System von Fermionen (z. B. Elektronen) mit Spin in einer Anordnung von Quantenpunkten. Die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren C ich σ † Und C ich σ , Wo ich Und σ Geben Sie den Index des Punktes bzw. den Spin an, befolgen Sie die kakonischen Fermion-Kommutationsregeln.

C ich a † C J β + C J β C ich a † = δ ich , J δ a , β , C ich a † C ich a † = 0 , C ich a † C J β † = − C J β † C ich a †

Ich werde im Fall von nur 2 Fermionen suchen, ich = 1 , 2 Und σ = ↑ , ↓ . Also enthalten beide Punkte 1 Fermion (1,1) oder einer der Punkte enthält 2 Fermionen (0,2) und (2,0).

So kann ich zum Beispiel in der (1,1) -Konfiguration einen Zustand von zwei Spin-Up-Fermionen oder einem Spin-Up und einem Spin-Down erzeugen: C 1 ↑ † C 2 ↑ † | 0 , 0 ⟩ = | ↑ , ↑ ⟩ , C 1 ↑ † C 2 ↓ † | 0 , 0 ⟩ = | ↑ , ↓ ⟩ .

Meine Frage ist nun, wie stellt man den Singulett-Zustand S in diesem Ladder-Operator-Formalismus dar?

S = 1 2 | 0 , ↑↓ − ↓↑ ⟩  oder  1 2 | ↑↓ − ↓↑ , 0 ⟩

Meine erste Vermutung ist so etwas wie: C 2 ↑ † C 2 ↓ † | 0 , 0 ⟩ Aber dies sollte offensichtlich dazu führen C 2 ↑ † C 2 ↓ † | 0 , 0 ⟩ = | 0 , ↑↓ ⟩

Vielleicht lautet eine allgemeinere Formulierung meiner Frage: Wie stellen Sie Überlagerungszustände im zweiten Quantisierungsformalismus dar?

„befindet“ sich Ihr Unterhemd nur auf Seite 2?
Ja, beide Drehungen befinden sich auf Seite 2 oder Seite 1, also die (0,2)- oder die (2,0)-Konfigurationen

Antworten (1)

Deine Vermutung ist eigentlich richtig. Die von Ihnen verwendete Besetzungszahldarstellung ist nicht einfach das Tensorprodukt der Einzelstandortzustände. Es ist bereits (anti-) symmetrisiert für (Fermionen) Bosonen. In der Tat, wenn Sie die beiden Fermionen vertauschen, erhalten Sie ein Minus. Das ist weil

C 2 ↑ † C 2 ↓ † = − C 2 ↓ † C 2 ↑ †

Da die beiden Fermionen dieselbe räumliche Wellenfunktion teilen, wäre der Spin-Teil der Wellenfunktion der antisymmetrische Teil und ist somit das Singulett.

Sie können auch versuchen, sich die zweitquantisierte Version der Spin-Operatoren von site anzusehen 2 (ohne Site-Index)

S X = 1 2 ( C ↑ † C ↓ + C ↓ † C ↑ )

S j = 1 2 ich ( C ↑ † C ↓ − C ↓ † C ↑ )

S z = 1 2 ( C ↑ † C ↑ − C ↓ † C ↓ )

und überprüfe die Eigenwerte von S 2 = S X 2 + S j 2 + S z 2 Und S z .

Wie unterscheidet man dann zwischen Triplett und Singulett? Wie ist folgender Zustand aufgebaut: T = 1 2 = | 0 , ↑↓ + ↓↑ ⟩
@PhysicsMan Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen. Sie können den Triplettzustand nicht für zwei Fermionen am selben Ort erhalten.
Warum ist es nicht möglich, den Triplettzustand für zwei Fermionen am selben Ort zu erhalten? Wenn ihre räumliche Wellenfunktion antisymmetrisch ist, sollte dies möglich sein, oder?
@PhysicsMan Weil Sie keine antisymmetrische Kombination derselben Einzelteilchenwellenfunktion erhalten können. Der räumliche Teil muss sein ψ 2 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) .
Konstruieren des Singulett-Zustands im zweiten Quantisierungsformalismus
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