Warum ist die beim identischen Teilchenaustausch aufgenommene Phase eine topologische Invariante?

Die beim Austausch identischer Teilchen aufgenommene Phase ist eigentlich keine topologische Invariante. Es ergibt sich aus dem kombinierten Beitrag vieler verschiedener Faktoren:

1. Die standardmäßige dynamische Phase$\sim e^{-i E t}$resultierend aus der Entwicklung der Schrödinger-Zeit und der Tatsache, dass der Austausch eine positive Zeitspanne in Anspruch nimmt

2. Die Berry-Phase, die nicht von der Austauschdauer abhängt, sondern von ihrem spezifischen geometrischen (nicht nur topologischen) Pfad

3. Die momentane Energie-Eigenbasistransformation (im nichtabelschen Fall)

4. Diabatische Effekte resultieren daraus, dass der Austauschprozess nicht unendlich langsam ist

5. Thermische Effekte, wenn das System eine endliche Temperatur hat

6. Wechselwirkungen endlicher Größe resultieren aus der Tatsache, dass die Anyonen nicht unendlich weit voneinander entfernt sind

Diese verschiedenen Faktoren trennen sich nicht immer sauber, aber grob gesagt hängen die kombinierten Effekte des zweiten und dritten Beitrags nur von der Topologie des Geflechts ab. Für eine topologische Phase mit Lücken sind die letzten beiden in den entsprechenden Regimen exponentiell klein, aber sie sind immer da. Aber für jedes physikalische System gibt es eigentlich nur ein Fenster von Austauschzeiten, das in beiden begrenzt istRichtungen, in denen die topologische Phase dominiert. Wenn der Austausch zu schnell ist, bringen diabatische Fehler die Dinge durcheinander, aber wenn er zu langsam ist, dann bringen Fehler endlicher Größe die Dinge durcheinander. In der Praxis ist ersteres Problem problematischer, da diabatische Fehler generisch nur algebraisch unterdrückt werden, während Fehler endlicher Größe exponentiell unterdrückt werden. Einige dieser Phasenverschiebungen - insbesondere die dynamische - können (hoffentlich) vernachlässigt werden, da sie für alle am Geflecht Beteiligten gleich sind und nur Phasenunterschiede physikalisch relevant sind.

Für abelsche Anyonen ist die topologische Phase im Grunde nur eine Aharanov-Bohm-Phase, die das Teilchen (zusätzlich zu einer gewöhnlichen dynamischen Phase) aus dem kreisenden Magnetfluss erhält, wie Sie sagen. Der Hauptunterschied zum regulären Aharanov-Bohm-Aufbau besteht darin, dass der Fluss sehr eng um den anderen Anyon lokalisiert ist. Wenn also der andere Anyon in der Schleife ist, umkreist der sich bewegende Anyon alledas Flussmittel und nimmt die gesamte Austauschphase auf, und wenn es außerhalb der Schleife ist, umgibt es kein Flussmittel. In Wirklichkeit sind die Anyonen für ein System mit einer endlichen Korrelationslänge nicht perfekt lokalisiert und ein gewisser Fluss wird in die Schleife hinein oder aus ihr heraus lecken, aber da das effektive Magnetfeld um ein Anyon herum exponentiell in einer Lückenphase abfällt, können wir diesen Effekt vernachlässigen wenn die Anyons viel weiter als die Korrelationslänge getrennt bleiben. Ein Teil des Grundes, warum die Bedeutung von nicht-topologischen Beiträgen zu Anyon-Phasen nicht vollständig gewürdigt wird, liegt darin, dass die meisten Menschen ihre Intuition auf dem torischen Code aufbauen, der höchst ungenerisch ist, weil er eine Korrelationslänge von null hat, also sind Anyons „ gut getrennt" auch auf benachbarten Gitterplätzen.

Siehe die Einleitung zu diesem Papier für eine Diskussion dieser verschiedenen Feinheiten.

In der Praxis kehren Theoretiker all diese Feinheiten oft unter den Teppich und konzentrieren sich nur auf die topologische Phase, obwohl die anderen Beiträge in Wirklichkeit immer da sind. Beispielsweise können topologische Quantenfeldtheorien nur die Physik der topologischen Phasenbeiträge erfassen, sodass alle aus diesem Formalismus abgeleiteten Ergebnisse zwangsläufig die anderen Effekte in einem realen System nicht beschreiben können.

Ich denke, eine Antwort kann in diesem großartigen Artikel gefunden werden . Ich schreibe das Argument so auf, wie ich es verstehe.

Stellen Sie sich 2 identische Partikel in 3D vor. Der Konfigurationsraum ist$C=(\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3)/\mathbb{Z}_2$, wo wir quotieren durch$\mathbb{Z}_2$da die Teilchen identisch sind. Indem Sie zu relativen Koordinaten gehen,$C=\mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}_2)$, wo$\mathbb{R}^3$dem Massenmittelpunkt zugeordnet ist und der zweite der Raum der relativen Koordinaten ist$x\in \mathbb{R}^3$mit denen identifiziert wird$-x$. Dies gibt einen singulären Punkt an$x=0$, und wir entfernen es (wir halten die Partikel auseinander). Somit ist der relative Teil$(\mathbb{R}^3-{0})/\mathbb{Z}_2=]0,\infty[\times (S^2/\mathbb{Z}_2)$.

Konzentrieren Sie sich zuerst auf das Teil$S^2/\mathbb{Z}_2$. Wie ich oben in der Frage erwähnt habe, fallen geschlossene Schleifen in diesem Raum in zwei Klassen. Wenn wir an die Kugel denken$S^2$Vor dem Identifizieren von Antipodenpunkten sind diese Klassen Klassen von Pfaden, die 1. an demselben Punkt beginnen und enden 2. an Antipodenpunkten beginnen und enden.

Die Wege in Klasse 1 , im Gesamtraum betrachtet$(\mathbb{R}^3-{0})/\mathbb{Z}_2$, umkreisen den entfernten Punkt nicht bei 0 (oder können kontinuierlich zu einem Pfad verformt werden, der dies nicht tut). Die Pfade in Klasse 2 umkreisen den Ursprung einmal (oder können kontinuierlich zu einem Pfad verformt werden, der ihn einmal umkreist).

Die eigentliche Argumentation kann nun durch parallelen Transport von Vektoren entlang geschlossener Schleifen im Konfigurationsraum erfolgen. Für jeden$x$wir definieren einen Hilbertraum$h_x$so dass$\Psi(x)\in h_x$ist der Wert der Wellenfunktion bei$x$. So denken wir an$\Psi(x)$als Vektor, den wir parallel transportieren werden. Basis definieren$\chi_x$zum$h_x$, wir können schreiben$\Psi(x)=\psi(x)\chi_x$. Wir haben die Wahl der Basis, was eine Eichfreiheit ist.

Wir definieren dann einen linearen, einheitlichen Operator$P(x',x) : h_x \to h_{x'}$die parallel Transportvektoren von$h_x$zu Vektoren von$h_{x'}$. Es wird angenommen, dass es die Form annimmt$P(x+dx,x)\chi_x = (1+i dx^k b_k (x) ) \chi_{x+dx}$für infinitesimale Parallelverschiebung. Das$b_k$sind Funktionen analog zum Vektorpotential$A_\mu$, und definiere eichinvariante Differentiation$D_k = \partial_k -i b_k (x)$.

Dies wiederum definiert einen "Krümmungs"-Tensor$f_{kl} = i [D_k ,D_l]$analog zu$F_{\mu \nu}$in EM bzw$R_{\mu \nu}$im GR. Die Idee ist, denke ich, dass paralleler Transport auf Pfaden, die keine Krümmung einschließen, trivial ist, aber dass es einen Effekt haben kann, wenn der eingeschlossene Bereich gekrümmt ist. In unserem Fall,$f_{kl}$für alle Punkte im Konfigurationsraum Null gewählt, aber für den ausgeschlossenen Punkt am Ursprung nicht definiert.

Angenommen, wir betrachten einen Pfad, der den Ursprung nicht umkreist. In diesem Fall ist die eingeschlossene "Krümmung" Null, und wir haben$P(x,x)\equiv P(x) = 1$. Dies gilt für alle Pfade, die den Ursprung nicht umkreisen – das kontinuierliche Verformen eines Pfads behält diese Eigenschaft bei. Betrachten wir einen Weg, der den Ursprung einmal umrundet, schreiben wir$P(x) = \exp[i\zeta]$, seit$h_x$ist eindimensional. Wenn wir einen solchen Pfad kontinuierlich verformen, können wir die eingeschlossene "Krümmung" nicht ändern, sodass die Phase für alle diese Pfade gleich ist.

Dann ergibt sich ein Pfad, der einem "doppelten Austausch" entspricht$P(x) = \exp[2i\zeta]$. Jetzt verformen wir es kontinuierlich zurück zum trivialen Pfad, was wir tun können, ohne den Ursprung zu durchlaufen. Die eingeschlossene "Krümmung" des Weges "doppelter Austausch" ist daher die gleiche wie die des trivialen Weges, nämlich Null (das sollte man sich schöner ansehen). Da für alle solche Pfade$P(x)=1$, wir haben$\exp[2i\zeta]=1$.

Wenn wir den 2D-Fall betrachten, würden wir unendlich viele Klassen von Pfaden erhalten, da der Konfigurationsraum wäre$\mathbb{R}^2 \times (]0,\infty[\times S^1/\mathbb{Z}_2)$. Dennoch sollte die gleiche Idee gelten.