Ist die Plancksche Konstante wirklich eine Konstante?

Ich gehe den Satz von Groenewold durch und in seinem Buch: On The Principles of Elementary Quantum Mechanics, Seite 8, Gl. 1.30:

(1.30) [ P , Q ] = 1 (  dh  P Q − Q P = ℏ ich ) ,

und er schrieb:

Die klassischen Mengen A ( P , Q ) können als Annäherungen an die Quantenoperatoren angesehen werden A für lim ℏ → 0 .

Wie kam er darauf ℏ ich = 1 ? Und wenn ℏ (wie wir es gelernt haben) ist eine Konstante und genau gleich 6.5821 × 10 − 16 e v S , wie können wir sagen, dass es auf Null geht?

Nur für den Titel wurde die Plancksche Konstante kürzlich als exakt definiert H = 6.62607015 × 10 − 34 Js, also ist es jetzt eine Konstante, auch wenn es vorher hypothetisch hätte variieren können. Glücklicherweise ℏ Überreste H 2 π
Wir können uns alternative Universen mit abnehmenden Werten von hbar vorstellen (und berechnen).

Antworten (3)

Wie kam er darauf ℏ ich = 1 ?

Er tat es nicht. Überprüfen Sie die Definition, die er für den Kommutator in Gleichung (1.02) gibt.

Und wenn ℏ (wie wir es gelernt haben) eine Konstante ist, wie können wir sagen, dass sie gegen Null geht?

Ich denke, der Punkt hier ist zu sagen: Wenn ℏ → 0 wir erholen die klassische Mechanik (CS), also wenn in der Natur ℏ = 0 wir hätten nicht QM nur CS. Und die klassische Mechanik ist eine Grenze von QM und das ist grundlegend, da wir sehen, dass die klassische Mechanik funktioniert. Außerdem sagt es uns das seit ℏ ≠ 0 aber es ist klein, wir sehen QM nur in kleinen Maßstäben.

Deine Antwort ist wirklich vage. Zum Beispiel, wie Sie beurteilen, ob ℏ ist klein oder groß? Diese Plancksche Konstante hat eine Einheit und wir können nur bei dimensionslosen Zahlen von klein oder groß sprechen. Mit anderen Worten: Groß oder klein in Bezug auf was?
Wir können problemlos über kleine und große dimensionsbehaftete Zahlen sprechen. Es ist klein in den "Einheiten der klassischen Physik". Es ist klein in Bezug auf die Wirkung auf einer klassischen Trajektorie.
Nein, soweit ich weiß, können wir überhaupt nicht über große oder kleine Werte von dimensionalen Mengen sprechen. Aus diesem Grund werden dimensionslose Zahlen entwickelt, um verschiedene physikalische Phänomene vergleichen zu können. Sprichwort ℏ ob klein oder groß ist, ist einfach bedeutungslos, weil du es immer noch nicht definieren kannst, du vergleichst es mit Bezug auf was. Was zum Beispiel bedeutet hier überhaupt „Aktion auf klassischer Trajektorie“? Für mich ist es nur eine sehr vage Aussage. Ich weiß es zu schätzen, wenn Sie es mit einer präzisen mathematischen Definition beschreiben.
Eine halbklassische Sichtweise ist dies ℏ viel kleiner als der Drehimpuls, dem wir in der makroskopischen Welt begegnen. Ein sich drehendes Fahrradrad hat einen Drehimpuls von etwa L ∼ 10 34 ℏ
Stimmen Sie zu, dass wenn T 0 = 1 S Und T 1 = 1000 S Dann T 1 >> T 0 ?
@ludmicseveric Sie können ableiten, dass 1000 s größer als 1 s sind, weil Sie 1 s / 1 s implizit teilen und 1 ohne Dimension erhalten und 1000 s / 1 s teilen und wieder 1000 ohne Dimension erhalten können und weil 1000 > 1 dann T 0 < T 1 . In diesem Beispiel ist es ziemlich schnell und trivial, aber es ist nicht so trivial für ℏ . WaterMolecule hat hier, glaube ich, einen guten Punkt angesprochen.
Allgemeiner können wir Planck-Einheiten für Länge, Masse, Zeit usw. in Bezug auf ℏ und andere universelle Konstanten definieren. Diese bilden einen natürlichen Satz von Einheiten, die keine willkürliche anthropozentrische Grundlage haben. Wenn wir beispielsweise Meter und Sekunden mit der Planck-Länge und der Planck-Zeit vergleichen, können wir sagen, dass ℏ tatsächlich klein ist, in dem Sinne, dass der Maßstab, in dem die Quantenmechanik sichtbar wird, viel kleiner ist als der Maßstab unserer alltäglichen weltlichen Existenz
@AloneProgrammer ok, also können wir sagen, dass eine dimensionale Zahl im Vergleich zu einer anderen Zahl groß oder klein ist, gut. An dieser Stelle ℏ hat die Dimension einer Aktion, also vergleichen wir es mit einer klassischen Aktion. Nehmen Sie ein Teilchen mit freien Punkten, das von a ausgeht T A = 0 s zu schlagen T B = 1 s mit Masse M = 1 kg und konstanter Geschwindigkeit v = 1 M S . Ok, der Wert dieser supereinfachen klassischen Aktion ist S=1/2 J s. Sie können diese Übung mit anderen Aktionen durchführen und Sie werden sehen, dass das Ergebnis bei klassischen Dingen viel größer sein wird als ℏ .
@AloneProgrammer sowieso, und das ist nur meine persönliche Meinung und vielleicht ein Vorschlag, man könnte eine Diskussion anders und offener und weniger "aggressiv" angehen
Im Beispiel haben wir die Einheiten von „unsere Erfahrung“ verwendet und sie geschrieben ℏ ist klein. Sonst hätten wir die Quantenmechanik wahrscheinlich schon viel früher entdeckt
@AloneProgrammer Ich denke, Sie haben die Idee verwechselt, dass Zahlen mit unterschiedlichen Dimensionen nicht verglichen werden können, wobei ALLE Zahlen mit Dimensionen nicht verglichen werden können. Das ist falsch. Das Problem ist nicht die Dimensionalität selbst, das Problem ist eine andere Dimensionalität. Es ist sicherlich richtig, dass (ohne dass eine grundlegende physikalische Konstante sie verbindet) 1 M Und 1 S sind a priori nicht vergleichbar, aber H kann mit anderen Größen verglichen werden, die Wirkungseinheiten haben. In der oben gegebenen Antwort H ist klein im Vergleich zur Wirkung klassischer Objekte.
@Zorawar Leider sollte ich nein sagen. Die Dimensionszahlen können nicht miteinander verglichen werden oder sollten zumindest für die maximale Übersichtlichkeit so weit wie möglich vermieden werden. Selbst bei Zahlen mit identischer physikalischer Definition sollte ein Dimensionsvergleich vermieden werden. Zum Beispiel ist 1 Stunde kleiner oder größer als 0,5 Tage? Beide repräsentieren die Zeit. Um sie zu vergleichen, können Sie sie beide in Stunden darstellen und sagen, dass 0,5 Tage größer als 1 Stunde sind. Es sieht langweilig aus, weil die Konvertierung hier ziemlich schnell und trivial ist. Aber wie ich schon sagte, es ist überhaupt nicht trivial für ℏ .
@AloneProgrammer Schwierigkeit und Unmöglichkeit sind zwei verschiedene Dinge. Vermeidung sollte nur Menschen empfohlen werden, denen solche Dinge schwer fallen, nicht mehr und nicht weniger. Für alle anderen gibt es keine Schwierigkeiten. Der Dimensionsvergleich ist nicht nur Routine, sondern von zentraler Bedeutung für die theoretische Physik. Nehmen wir zum Beispiel eine Größe von theoretischem Interesse: das Verhältnis von Scherviskosität zu Entropiedichte; dies ist eine dimensionale Größe (Ks), die in diesem Papier mit mehreren Werten verglichen wird: arxiv.org/pdf/1108.0677.pdf (S. 4ff.). Die Literatur kann nach vielen weiteren solchen Beispielen durchsucht werden.
@AloneProgrammer In Bezug auf H Da es "nicht trivial" ist, ist es einfach eine Menge mit Einheiten J S . Ich kann nicht verstehen, wie es in Bezug auf den Vergleich "komplexer" ist als jede andere dimensionelle Größe. Dies ist jedoch nicht der beste Ort, um dieses Problem zu diskutieren. Ich würde empfehlen, eine separate Frage in diese Richtung zu stellen, wenn Sie Ihre Position immer noch für vertretbar halten. In der Zwischenzeit wären vielleicht diese beiden Links aufschlussreich: web.mit.edu/2.25/www/pdf/DA_unified.pdf (insbesondere S. 9-11) und damtp.cam.ac.uk/user/tong/relativity /drei.pdf .

  1. Groenewold arbeitet im Rahmen der Deformationsquantisierung , bei der die (reduzierte) Planck-Konstante ℏ wird als formaler Parameter behandelt, der nicht der tatsächliche physikalische Wert sein muss ∼ 10 − 34 J S .

  2. Gl. (1.30) wird durch eine unkonventionelle Normierung des Kommutators erklärt

    (1.02) [ A , B ]   :=   ich ℏ ( A B − B A ) .

Für eine etwas andere Perspektive kann man in natürlichen Einheiten einstellen ℏ = 1 . Das heißt, in natürlichen Einheiten stimmen wir zu, die Aktion in Einheiten von zu messen ℏ (anstatt, sagen wir, J ⋅ S ). So gesehen macht das Versenden keinen Sinn mehr ℏ Zu 0 als zu senden 1 J ⋅ S Zu 0 . Anders gesagt, Senden ℏ Zu 0 ist wie senden 1 M Zu 0 indem Sie es schreiben als 1 × 10 − 9 G M . Eine solche Änderung kann die Physik des Systems nicht wirklich beeinflussen.

Um den Begriff des Sendens wiederherzustellen ℏ Zu 0 in natürlichen Einheiten betrachten wir die natürlichen Skalen des betrachteten Systems. Beispielsweise ist die klassische Grenze des harmonischen Quantenoszillators erreicht, wenn E ≫ ℏ ω 0 , dh wenn die Energie des Systems viel größer ist als der Abstand zwischen den Energieeigenwerten. Es macht also keinen Sinn zu senden ℏ Zu 0 Aus Sicht der natürlichen Einheiten ist es sinnvoll zu senden ℏ ω 0 E Zu 0 .

Wie Qmechanic anspielte, gibt es auch die Deformationsquantisierungsperspektive, bei der Quanteneffekte perturbativ in einem Parameter behandelt werden, der suggestiv (aber vielleicht irreführend für den Uneingeweihten) als geschrieben wird ℏ . Präziser sein, ℏ spielt die Rolle, die normalerweise mit bezeichnet wird X in der Taylor-Entwicklung des quantenmechanischen Kommutators in Bezug auf die mit dem klassischen System verbundene Poisson-Klammer. In diesem Fall wann ℏ geht zu 0 , stellen wir wirklich die klassische Situation wieder her, im Wesentlichen durch Konstruktion. Ich sollte sagen, dass ich mich mit Deformationsquantisierung nicht sehr gut auskenne, also kann hoffentlich jemand anderes das, was ich hier gesagt habe, erweitern und alle Fehler korrigieren, die ich möglicherweise gemacht habe.

Ich bin mit dem ersten Absatz nicht einverstanden. Senden ℏ auf 0 ist dasselbe wie ein Universum ohne QM zu definieren. Schreiben ℏ = 1 hat ohne die Einheiten keine Bedeutung (es ist keine reine Zahl). Physiker sind sehr schlampig in der Notation. Sie sollen schreiben ℏ = 1 u stattdessen wo u ist nur eine spezielle Aktionseinheit, so beliebig wie jede andere (wie J ⋅ S ). In diesem Einheitensystem ist der Wert von ℏ ist nur 1. Aber wir könnten uns immer noch für eine Definition entscheiden ℏ als "Variable" und machen es zu 0, sogar im gleichen Einheitensystem.
Mit anderen Worten: Sie nehmen ein beliebiges Objekt von Masse auf Ihren Schreibtisch M = 3 , 218 k G . Dann definierst du es als Einheit, also M = 1 M , was trivial ist. Sobald Sie diese Wahl getroffen haben, bleiben Sie natürlich dabei und können sie nicht einschränken! Tun M → 0 ist gleichbedeutend mit der Änderung der Wahl des Standards (oder der Wahl des Objekts auf Ihrem Schreibtisch).
Ich stimme deinem Kommentar ziemlich zu. Eine Annahme, die sich hier einschleicht, ist, dass es wirklich ein bedeutungsvolles Quantum an Aktion gibt, das diesen Namen verdient ℏ . Aber sobald wir von dieser Tatsache überzeugt sind und zustimmen, sie zur Messung von Maßnahmen zu verwenden, macht es keinen Sinn mehr, darüber zu sprechen, sie zu senden 0 ebensowenig wie es sinnvoll ist, über das Senden der Masse des Objekts von Ihrem Schreibtisch zu sprechen 0 . Es ist ein physikalischer Parameter des untersuchten Universums. Wenn wir uns vorstellen, dass das Objekt auf Ihrem Schreibtisch mit einer anderen Masse interagiert, sagen wir M , dann können wir darüber reden, was wann passiert M / M → 0
Ich denke, wir sind uns eigentlich einig. Weil ℏ ist dimensionell (es misst Aktion) und keine reine Zahl (wie π ) können wir nicht darüber sprechen, es an zu senden 0 . Wir können nur davon sprechen, dass andere Maßnahmen im Vergleich dazu klein oder groß sind. Ich denke, was du meinst, Senden ℏ Zu 0 Ein klassisches Universum zu erhalten, kann Sinn machen, aber wir müssen auf die Bedeutung achten. Ich denke, was wir sagen, wenn wir senden ℏ Zu 0 Wir gehen davon aus, dass wir in einem Universum leben, in dem alle Aktionen so groß sind, dass sie machen 1 ℏ eine physikalisch vernachlässigbare Wirkungsgröße.
Es bleibt der Punkt, über den wir nur reden können ℏ im Vergleich zu anderen physikalischen Größen, da es nur eine Einheit ist. Vielleicht kannst du dazu noch etwas mehr sagen. Das ist physikalisch sinnvoll ℏ ist nicht 0 . Dies ist die Aussage, dass die Quantenmechanik nicht klassisch ist (sie besagt, dass der Kommutator von X Und P verschwindet nicht). Dies ist analog zu der Tatsache, dass C ist ungleich Null, was besagt, dass unser Universum eine Lorentzsche Symmetrie hat, keine Galileische Symmetrie. Aber sein spezifischer Wert ist nicht aussagekräftig, wenn er nicht mit anderen Größen verglichen wird.
Ich stimme zu. Viele Physiker (insbesondere Theoretiker) schreiben jedoch Unsinn wie ℏ = C = 1 zum Beispiel. ℏ Und C haben nicht die gleichen Abmessungen. Auch wenn wir sie trennen: ℏ = 1 Und C = 1 , ist Unsinn! Sie sollen schreiben ℏ = 1 ℏ Und C = 1 C , was trivial ist (und Sinn macht). Sobald wir diese Konvention übernommen haben, bleiben wir bei diesen Werten und können die "Konstanten" nicht mehr ändern. Physikalische Konstanten sind wie 1D-Vektoren: eine Komponente (Wert) und eine Basis (Einheit). Wir können die Basis reparieren und die Komponente variieren. Das bedeutet für mich die Grenze.
Ich wurde davor gewarnt, ausgedehnte Diskussionen zu vermeiden, aber dies ist ein Punkt, der es wert ist, weiterverfolgt zu werden. Es könnte einen Sinn haben, zu schreiben ℏ = C = 1 wenn Sie denken, dass es keinen wirklichen physikalischen Unterschied zwischen den Größen gibt, die sie darstellen. Bei GR wird letztlich alles in Bezug auf geschrieben M (oder eine Distanzeinheit), weil die GR-Perspektive besagt, dass alles (auf der klassischen Ebene) wirklich Geometrie ist. Zeit ist keine andere Art von Größe als Entfernung. Beide beschreiben die Geometrie des Systems aus der 4D-Perspektive.
Ich stimme Ihrem Kommentar zu GR und der Philosophie "Alles ist Geometrie" zu, aber dies eröffnet eine ganze Reihe von "Tricks" (ich möchte keine ausführliche Diskussion beginnen!). Meines Erachtens sollte jede physikalische Größe mit Hilfe der Konstanten als „geometrische Objekte“ neu definiert werden ℏ , C , e , so (als ein paar Beispiele): time T ≡ C T ¯ ∼ L 1 (Wo T ¯ ist die übliche Zeit in Sekunden), M ≡ M ¯ C / ℏ ∼ L − 1 , E ≡ E ¯ / ℏ C ∼ L − 1 , Q ≡ Q ¯ / e ∼ L 0 usw. Alle Gleichungen werden viel einfacher.
... aber dann können wir die Grenzen nicht anwenden ℏ → 0 Und C → ∞ nicht mehr in diesem früheren System von Neudefinitionen. Wir müssen alles auf normale Mengen zurückskalieren, bevor wir ein Limit anwenden. Wir könnten diese Idee weiter entwickeln, aber ich werde hier aufhören.
Ist die Plancksche Konstante wirklich eine Konstante?
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