Klassische Grenze des Kommutators

Diracs Argument steht auf den Seiten 85-86 und lautet wie folgt:

Die klassische Poisson-Klammer folgt den folgenden Regeln:

$$\{A,B\} = -\{B,A\}$$ $$\{aA + bB ,C\} = a\{ A,C\} + b\{B,C\}$$ $$\{AB,C\} = A\{B,C\} + \{B,C\}A$$ $$\{\{A,B\},C\} = \{B,\{A,C\}\} - \{A,\{B,C\}\}$$

Wo ich die Jacobi-Identität so umgeschrieben habe, wie es Sinn macht. Nun fragt Dirac, ob man so etwas für nichtkommutierende Quantenobjekte definieren kann, und er stellt fest, dass man das kann, wenn

$$i\hbar [A,B] = (AB - BA)$$

Wo$\hbar$ist ein Verhältnismäßigkeitskontext, der durch dimensionale Analyse festgelegt wird, während$i$ist da, um sicherzustellen, dass das Poisson-Klammer-Analog hermitesch ist, da Observablen per Konvention sein sollten (der Antikommutator ist anti-hermitesch).

Er leitet dies ab, indem er den Kommutator erweitert:$[AB,CD]$Verwenden der obigen formalen Regeln als Axiome auf zwei verschiedene Arten. Daraus findet er das

$$[A,C](BD - DB) = (AC-CA)[B,D]$$

In der klassischen Theorie ergibt sich daraus$0=0$, aber in QM kommutieren die Observablen nicht, also lernen Sie, dass Sie Kommutatoren als Quantenanaloga von Poisson-Klammern identifizieren sollten. Das argumentiert er dann$\hbar$mit allem vertauscht, und daher die Vertauschungsrelationen gelten sollten, und daraus ableitet, dass das Schrödinger-Bild vorliegt.

Das Argument ist gestrafft und nicht historisch korrekt. Für Heisenbergs ursprüngliches Argument (oder etwas sehr Ähnliches) siehe Wikipedias Matrix Mechanics-Seite .

Auf Seite 87 schreibt Dirac, dass die Kommutierungsbeziehung zwischen zwei Observablen u und v gegeben ist durch

$$uv-vu=i \hbar [u,v]$$ Siehe nun Gl. 8: $$[q_{r},q_{s}] = 0$$ $$[p_{r},p_{s}] = 0$$ $$[q_{r},p_{s}] = \delta _{rs}$$ Um die entsprechenden Quantenkommutatoren für die obigen Beziehungen zu finden, setzen wir diese einfach in die erste Gleichung ein und erhalten die Quantenversionen: $$q_{r}q_{s} - q_{s}q_{r} = 0$$ $$p_{r}p_{s} - p_{s}p_{r} = 0$$ $$q_{r}p_{s} - p_{s}q_{r} = i \hbar\delta _{rs}$$ Sie können diese Einstellung sehen $\hbar = 0$ergibt 0 für die dritte Gleichung - dies ist die klassische Grenze, da zwei beliebige Observablen in der klassischen Physik pendeln (in der klassischen Physik sind Observablen keine Operatoren und es gibt kein Unschärfeprinzip). So wie $\hbar \rightarrow 0$, reduziert sich die Quantenmechanik auf die klassische Physik.