Heisenbergsches Bild der QM als Ergebnis des Hamilton-Formalismus

Wie bei den meisten, wenn nicht allen (letztendlich) Dingen in der Physik, leitet man NICHT ab $(2)$aus$(1)$, ahnt man$(2)$aus$(1)$und bestätigt dann die Stichhaltigkeit der Vermutung durch ein Experiment. Ich bin ein bisschen leichtsinnig mit dem Wort "Vermutung" als leichte Persiflage auf uns selbst als Physiker, wenn wir (mich definitiv eingeschlossen) die Tatsache verlieren, dass wir keine mathematischen Beweise liefern. Damit ich nicht ein wenig herablassend klingen sollte – Sie können das Folgende als Kritik und Korrektur auffassen, die ich MIR SELBST oft streng ausgesprochen habe, wenn ich mit ähnlichen Fragen wie auch mit dieser konfrontiert wurde.

Lassen Sie uns also unsere Frage umformulieren: „Wie motiviert (1) (2)“? (1) beschreibt die Zeitentwicklung des Wertes einer glatten Funktion$f = f(\psi)$auf einem Verteiler$M$Wir nennen den Zustand eines Systems "Konfigurationsraum".$\psi \in M$entwickelt sich entlang eines Pfades in$M$, welcher Pfad durch die klassischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen definiert ist. Alles ist deterministisch, die Koordinaten werden durch verallgemeinerte Positionen dargestellt$\mathbf{p}$und Impulse$\mathbf{q}$sind im Prinzip mit unendlicher Genauigkeit definierbar, und man kann sinnvollerweise gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit von System-"Positionen" und "Impulsen" sprechen. Wir können uns eine allgemeine glatte Funktion vorstellen$f(\psi)$als unendliche Präzisionsmessung am System, wenn dessen Zustand ist$\psi$.

Dann kommt Heisenberg und sagt, dass Messungen die einzigen Dinge sind, die real sind, und dass die unendlich genaue Spezifikation eines Zustands im Konfigurationsraum, wie sie in der klassischen Hamilton- und Lagrange-Mechanik durchgeführt wird, zumindest auf Quantenebene bedeutungslos ist, weil die genaue Messung einiger der co -Ordinaten im Zustandsraum bedeutet, dass andere nur grob gemessen werden können - dh die Unschärferelation ist geboren.

Dieses neue Denken macht das Konzept des Konfigurationsraums nicht nur umständlich, es zerstört das Konzept des Konfigurationsraums insgesamt, also haben wir etwas wirklich Neues. Wenn wir unsere klassischen Ideen retten wollen, dann geht das nur durch Vermutung, Analogie, Inspiration, nicht durch Ableitungen. Die einzigen Ableitungen, die wir vornehmen, sind umgekehrt: Sobald wir die neue Theorie erraten haben, müssen wir zeigen, dass wir die alte als Näherung ableiten können , wenn die experimentellen Bedingungen diejenigen sind, die die alte Theorie bestätigt haben.

Wie finden wir also „Vermutungen“ und „Inspirationen“? Die Antwort war für fast jeden Praktiker der frühen Quantenmechanik anders, ebenso wie Sie wahrscheinlich viele Antworten auf Ihre Frage erhalten werden - alles in Ordnung und gut als Inspiration für die jeweilige Person geeignet, die sie vorträgt. So stelle ich mir die Dinge gerne vor.

Nach Heisenberg bleibt uns ein gewisser Zustand$\psi$körperlos von jeglichem Konfigurationsraum, und dieser Zustand definiert die Werte verschiedener Observablen , die Operatoren sind, die Messungen modellieren, zusammen mit speziellen Rezepten zum Interpretieren, welche Messungen diese Operatoren im Zustand ergeben$\psi$herrscht. Da wir keinen Konfigurationsraum haben, haben wir wirklich nicht viel zu tun, also sagen wir einfach$\psi$gehört zu einem Hilbert-Raum und die Observablen sind die Operatoren auf diesem Raum, siehe meine Beschreibung hier . Ich beginne im Gegensatz zu Heisenberg auch gerne mit der allgemeinen Schrödinger-Gleichung, da diese eigentlich nicht viel mehr als Linearität voraussetzt, zusammen mit der Annahme, dass sich die Beschreibung des Systems nicht in der Zeit ändert: Dies ergibt

( siehe meine Erklärung dazu hier ). An dieser Stelle$\hat{H}$ist eine beobachtbare Größe, die das Innere des Systems in gewisser Weise definiert. Danach können wir vom Schrödinger- zum Heisenberg-Bild konvertieren (auch wie in derselben Antwort, die ich gerade zitiert habe), wobei sich der Zustand nicht mehr entwickelt, sondern die Observablen:

und an diesem Punkt bemerken wir (oder besser gesagt Dirac im Jahr 1926) die Ähnlichkeit zwischen der Entwicklung der Observablen und der klassischen Messung, die sich im Konfigurationsraum entwickelt, und zwar nach Ihrer Gleichung (1) mit der Poisson-Klammer. Es ist diese Ähnlichkeit oder Analogie, die die Leute dazu motiviert zu vermuten, dass Quantentheorien aus klassischen Theorien erraten werden können, indem Poisson- durch Lie-Klammern ersetzt werden. Es gibt auch andere mathematische Analogien, die einige Leute (einschließlich mir) tröstlich und motivierend finden: Beispielsweise können Poisson-Klammern Ableitungen (im algebraischen, nicht logischen Sinne des Wortes) auf dem linearen Raum glatter Funktionen auf dem Konfigurationsraum definieren vielfältig$M$, so wie Lie-Klammern Ableitungen auf dem Tangentenbündel einer allgemeinen glatten Mannigfaltigkeit definieren. Letztendlich liegt der Beweis jedoch im Erfolg jeder Theorie bei der Vorhersage experimenteller Ergebnisse.

Nun ist es erwähnenswert, dass Forscher (insbesondere Weyl, Wigner Groenewold und Moyal) nachträglich einen Weg gefunden haben, die Quantenmechanik so umzuformulieren, dass gezeigt werden kann, dass Ihre beiden Gleichungen (1) und (2) zu einer allgemeineren gehören ganz. Der klassische Phasenraum kann in den Quantenphasenraum „regeneriert“ werden, wo nun die Information im Zustand ist$\psi$im Hilbert-Raum durch eine völlig logisch äquivalente Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung ersetzt, die eine Verteilungsfunktion über den Phasenraumkoordinaten ist$p_j$Und$q_j$: Siehe die Wikipedia-Seite zur Quantenphasenraumformulierung : Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ist reell, kann aber in kleinen Bereichen des Phasenraums negativ sein. Solche Regionen sind jedoch klein im Sinne von „klein genug, um gleichzeitig Präzision darzustellen$p$Und$q$das würde das Unschärfeprinzip verletzen. Über den von der Unschärferelation erlaubten Bereichen ist die integrierte Verteilung positiv, so dass sie zu einer „klassischen“ Wahrscheinlichkeitsverteilung wird, wenn man sich vorstellt, den Quantenphasenraum „grob zu gewinnen“, so dass er durch diskrete Punkte angenähert wird, die jeweils die Stelle von a einnehmen Volumen im Phasenraum entsprechend einer gleichzeitigen Genauigkeit in$x$Und$p$das erlaubt die Unschärferelation. Observablen werden nun durch die Wigner-Weyl-Transformation zu Operatoren im Phasenraum – verallgemeinerte Randwahrscheinlichkeitsintegrale – und die Operatorzusammensetzung wird durch das Sternprodukt ersetzt. Die Lie-Klammer der Operatoren wird durch die Moyal-Klammer ersetzt . Wir kommen nun zu einer verallgemeinerten Version Ihrer Gleichung (1):

wo die Moyal Klammer$\{\{\;,\;\}\}$ist Ihre klassische Poisson-Klammer plus Auftragsbedingungen höherer Ordnung $\hbar^2$So schließen wir den Kreis. Die Moyal-Klammer ist eine verallgemeinerte Ableitung (wieder im algebraischen Sinne), die eine kontinuierliche Deformation zwischen der klassischen Poisson- und der quantenmechanischen Lie-Klammer enthält, parametrisiert durch einen reellen Parameter$\hbar$(wobei sich die Poisson-Klammer ergibt als$\hbar\rightarrow 0$). Das ist äußerst elegant und überzeugend, aber es ist wichtig zu beachten, dass dies alles nachträglich in den Jahren kurz vor 1949 geschah. Diese Art der Verallgemeinerung ist die Art der „Ableitung“ der klassischen Physik als Grenze des allgemeineren Quants Physik, von der ich am Anfang meiner Antwort gesprochen habe.

Schließlich kann ein weiterer Weg zwischen der klassischen und der Quantenidee in der Zeitentwicklung der Hyperflächen konstanter Wirkung im klassischen Konfigurationsraum gesehen werden, die durch die Eikonal-Gleichung (eine Neuformulierung der Hamilton-Jacobi-Gleichung) beschrieben werden kann. was in diesem Zusammenhang eine nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist: siehe die Wikipedia-Seite zur Hamilton-Jacobi-Gleichung . Wenn man nun an diese Hyperflächen konstanter Wirkung denkt, ist die Eikonal-Gleichung eine Annäherung an die Helmholtz-Gleichung, die gilt, wenn sich das Skalarfeld langsam im Raum im Vergleich zur Wellenlänge ändert. Unsere Motivation lautet also, vielleicht ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung einfach die Annäherung, die gilt, wenn die Änderungsrate der Aktion gilt$S$ist klein im Vergleich zu einem gewissen Wirkungsquantum$\hbar$pro Einheit "Entfernung" im Konfigurationsraum. Also „reverse engineering“ diese Neuformulierung der Hamilton-Jacobi-Gleichung, um die eigentliche Schrödinger-Gleichung zu erhalten, indem wir die Beziehung zwischen den Eikonal- und Helmholtz-Gleichungen als Hilfe verwenden. Sobald wir die Schrödinger-Gleichung haben, können wir Ihre Gleichung (2) erhalten.

Beachten Sie auch die Geschichte der frühen Ideen zum Ersetzen von Poisson- durch Lie-Klammern in dem von @Trimok zitierten Artikel: http://quantum-history.mpiwg-berlin.mpg.de/eLibrary/fileserverPub/Duncan-Janssen_2009_Canonical- Transformationen.pdf/V1_Duncan-Janssen_2009_Kanonische-Transformationen.pdf

Um die Antwort von WetSavannaAnimal zu ergänzen, möchte ich einige Leseempfehlungen hinzufügen. Erlauben Sie mir zunächst, die Frage ein wenig umzuformulieren.

Problem

Finden Sie eine Abbildung (oder eine Zuordnung) zu den Observablen der klassischen Mechanik, die reellwertige Funktionen sind$f(p_k, q^k)$von$(p_k,q^k) = (p_1, \dots, p_{n}, q^{1}, \dots, q^{n})\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$(der Phasenraum), selbstadjungierte Operatoren$Q_{f}$auf dem Hilbertraum$L^{2}(\mathbb{R}^{n})$Sodass

1. Linearität. Die Korrespondenz$f\to Q_{f}$ist linear
2. Bewahrt Identität. Wir haben$Q_{\mathbf{1}}=I$Wo$I$ist der Identitätsoperator und$\mathbf{1}$ist die konstante Funktion, die immer gleich 1 ist
3. Poisson Bracket wird zu Kommutator. Für beliebige Funktionen im Phasenraum$f(p,q)$Und$g(p,q)$, wir haben $$Q(\{f,g\}) = \frac{-\mathrm{i}}{\hbar}[Q_{f},Q_{g}]$$
4. Irreduzibilität. Dies ist eine technische Voraussetzung: Wir haben$Q_{q}$Und$Q_{p}$irreduzibel dargestellt werden. Normalerweise reicht es zu sagen, in den Orts-Raum-Koordinaten haben wir$Q_{p}=\mathrm{i}\hbar\partial_{q}$Und$Q_{q}=q$.

Van Hove (und Groenewald unabhängig voneinander) bewiesen ein No-Go-Theorem, das besagt, dass es im Allgemeinen unmöglich ist, ein solches zu finden$Q$. Die ersten beiden Referenzen unten überprüfen das Theorem und seine Problemumgehungen; der dritte gibt einen Überblick über die Geschichte der Quantisierung klassischer Systeme.

Die kurze Antwort lautet: Es ist unmöglich, weil die gegebene Karte Terme quadratischer oder höherer Ordnung nicht konsistent quantisieren kann (z$q^{3}p^{3}$kann auf viele verschiedene Arten quantisiert werden, was zu ungleichen Ergebnissen führt).

Natürlich ist die Natur theoretisch bereits quantisiert ... also ist die Frage "Wie quantisieren wir dieses klassische System" die falsche Frage. Aber das hält uns nicht davon ab, Ansätze zur Quantisierung auszuhecken ;)

Verweise

1. S. Twareque Ali, Miroslav Engliš, "Quantisierungsmethoden: Ein Leitfaden für Physiker und Analysten." Rev.Math.Phys. 17 (2005) 391-490. Eprint arXiv:math-ph/0405065
2. Mark J. Gotay, "Behinderungen der Quantisierung". J. Nonlinear Sci. 6 (1996) 469–498. Wesentlich überarbeiteter Eprint arXiv:math-ph/9809011
3. Etwas Geschichte der Quantisierungstechniken könnte auch eine gute Lektüre sein! NP Landsman, „Zwischen Klassik und Quanten“. Eprint arXiv:quant-ph/0506082