Warum sollten X^X^\hat X und P^P^\hat P in der Quantenmechanik nicht kommutieren?

Die Idee geht auf Heisenberg zurück. Er glaubte, dass die Physik nur Größen beschreiben könne, die experimentell gemessen werden könnten, und versuchte, eine mathematische Theorie zu entwickeln, die dies widerspiegeln und die relativen Intensitäten von Spektrallinien korrekt vorhersagen würde.

In der klassischen Physik hängen die abgestrahlten Intensitäten (in erster Näherung) von elektrischen Dipolen ab, die von der Position der Elektronen abhängig sind. Um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass die Position der Elektronen während eines Übergangs nicht gemessen werden kann, führte er eine Zahl ein$x_{nm}$um die Position im Übergang zu charakterisieren$n\to m$. Er stellte auch vor$v_{nm}$für die Geschwindigkeiten der Elektronen während der Übergänge und einer damit verbundenen Beschleunigung$a_{nm}$.

Heisenberg konnte schließlich die Energieniveaus reproduzieren$E_n$(eigentlich ihre Unterschiede$E_n-E_m$) unter Verwendung dieser Mengen, aber nur, wenn die Mengen die "ungewöhnlichen" Kombinationseigenschaften erfüllten

Die Geschichte besagt, dass Pascual Jordan Heisenberg in einem Zug traf, als Heisenberg daran arbeitete. Jordan, der eine mathematische Ausbildung hatte, erkannte die Kombinationsregel als Matrizenmultiplikation. Jordan erkannte zusammen mit Max Born und Paul Dirac, dass die Verwendung nicht kommutativer Größen für Heisenbergs Beschreibung wesentlich war.

Insbesondere Dirac postulierte, dass die Multiplikationsregeln aus dynamischen Überlegungen folgen müssten; Inspiriert vom Korrespondenzprinzip konnte er bis auf einen Gesamtfaktor die klassische Poisson-Klammer mit einer Quantenklammer in Beziehung setzen, um die heute berühmte zu finden

Es gibt mehrere Berichte über diese Entdeckung. Der historischste ist von Max Jammer , der einige der Schauspieler in der Geschichte aus erster Hand interviewen konnte. Es gibt auch einen interessanten und neueren Text von Roland Omnes , der sich aber nicht so sehr auf die Geschichte konzentriert. Ich bin sicher, es gibt andere.

Bearbeiten: Nachdem ich das @hyportnex-Konto gelesen hatte, fand ich Jammer online und überprüfte es. Der hyportnex-Bericht ist korrekt, wenn es darum geht, dass Born die Matrixform von Heisenbergs Ausdruck erkennt. Was die Geschichte des Zuges angeht: Es ist Born, der Jordan in einem Zug begegnete. Zitat von Jammer, Seite 109:

Nun geschah es, dass Born, während er mit dem Zug nach Hannover fuhr, einem Kollegen aus Göttingen vom schnellen Fortgang seiner Arbeit erzählte, aber auch die eigentümlichen Schwierigkeiten beim Rechnen mit Matrizen erwähnte. Es war ein Glück und fast eine Vorsehung, dass Jordan, der im Zug dasselbe Abteil teilte, dieses Gespräch belauschte. Auf der Station in Hannover stellte sich Jordan dann Born vor, erzählte ihm von seinen Erfahrungen im Umgang mit Matrizen und erklärte sich bereit, Born bei seiner Arbeit zu unterstützen.

Um die Geschichte des Themas zu studieren, empfehle ich van der Waerden: Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications). Dieses Buch behandelt nur die Geschichte der Matrixmechanik, so dass die Entwicklung der Wellenmechanik (de Broglie, Schrödinger usw.) einem nie fertiggestellten/veröffentlichten 2. Band vorbehalten bleibt. Um dieses Buch zu schreiben, hat Waerden die Hauptdarsteller direkt kontaktiert: Pauli, Heisenberg, Born, Jordan usw. Lassen Sie mich einen Brief zitieren, den Waerden von Born erhalten hat, siehe Seiten 36-37.

Borns Vermutung über pq — qp

Am 19. Juli fuhr Born mit dem Zug nach Hannover, um an der Versammlung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft teilzunehmen. Sein eigener Bericht, bestätigt durch Jordans Aussage, lautet wie folgt:

Nachdem ich Heisenbergs Aufsatz zur Veröffentlichung an die Zeitschrift für Physik geschickt hatte, begann ich über seine symbolische Multiplikation nachzudenken und war bald so in sie verstrickt, dass ich den ganzen Tag nachdachte und nachts kaum schlafen konnte. Denn ich spürte, da steckte etwas Grundlegendes dahinter ... Und eines Morgens ... sah ich plötzlich Licht: Heisenbergs symbolische Multiplikation war nichts anderes als die Matrizenrechnung, die mir seit meiner Studienzeit aus den Vorlesungen von Rosanes in Breslau wohlbekannt war. Ich habe das gefunden, indem ich die Notation ein wenig vereinfacht habe: statt$q(n, n+\tau)$Ich hab geschrieben$q(n, m)$, und als ich Heisenbergs Form der Bohrschen Quantenbedingungen neu schrieb, erkannte ich sofort ihre formale Bedeutung. Es bedeutete, dass die beiden Matrixprodukte$\mathbf{pq}$Und$\mathbf{qp}$sind nicht identisch. Mir war bekannt, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist; daher war ich von diesem Ergebnis nicht allzu sehr verwirrt. Bei näherer Betrachtung zeigte sich, dass die Heisenbergsche Formel nur den Wert der Diagonalelemente (m=n) der Matrix pq — qp lieferte : Sie besagte, dass sie alle gleich seien und den Wert hätten$h/i2\pi$. Aber was waren die anderen Elemente$m \ne n$? Hier begann meine eigene konstruktive Arbeit. Ich wiederholte Heisenbergs Rechnung in Matrizenschreibweise und überzeugte mich bald davon, dass der einzig vernünftige Wert der nichtdiagonalen Elemente Null sein sollte, und schrieb die seltsame Gleichung auf

Der Kommutator entsteht bei der kanonischen Quantisierung , einem Verfahren zur Quantisierung einer klassischen Theorie, die in den meisten Texten zur Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie allgegenwärtig ist. Man stellt die Bedingung, dass

was der Faustregel entspricht (da es viele Feinheiten hinsichtlich seiner Anwendbarkeit gibt),

Dirac zugeschrieben. Die Quantisierung ist ein Mittel, um von einer Theorie auszugehen, die entweder durch einen Aktions- oder einen Phasenraum mit einer bestimmten symplektischen Struktur spezifiziert ist. Ihre Frage läuft also im Wesentlichen auf die Gültigkeit der Quantisierung auf diese Weise hinaus.

Um dies rigoros zu begründen, würde ich empfehlen, den nLab-Artikel zu lesen ; Es hat die Angewohnheit, bestimmte Dinge zu verkomplizieren, insbesondere mit Fachjargon, aber ich denke, es wird Ihre Bedenken ansprechen.

Eine andere Möglichkeit, es zu sehen, besteht darin, zu versuchen, es zu definieren$x$Und$p$in einer Quantentheorie sinnvoll. Beispielsweise hat der Impulsoperator eine intuitive Bedeutung und ein erwartetes Verhalten bei Zuständen.

Darüber hinaus kann man beispielsweise in der Quantenfeldtheorie den Satz von Noether im Fall der Translationssymmetrie anwenden, um den konjugierten Impuls abzuleiten, und dann gelangt man nach Quantisierung der Felder der Theorie, Modulo-Potential-Ordnungsmehrdeutigkeiten, zu einem Operator$p$.

Explizit darf man ausschreiben$\phi(x)$Und$\pi(x)$sagen, und überprüfen Sie das,

das ist das Analogon von$[x_i,p_j] = i\hbar \delta_{ij}$obwohl diese Ableitung davon abhängen würde, dass$[a,a^\dagger]= 1$für die Leiteroperatoren und so sind die Definitionen der beiden Kommutatoren in gewissem Sinne miteinander verflochten. Die Frage nach einer Begründung der kanonischen Relationen ist mit der Relation für Ladder-Operatoren verknüpft.