Warum dürfen wir im semiklassischen Regime ℏ → 0ℏ → 0\hbar \ \rightarrow \ 0 lassen?

Ich studiere derzeit die WKB-Näherung, und bestimmte Teile des Arguments (hauptsächlich wenn es um Wendepunkte und das Patchen von Wellenfunktionen geht) beruhen auf der Tatsache, dass die WKB-Näherung eine halbklassische Näherung ist, und im halbklassischen Regime ℏ   →   0 .

Ich verstehe, wie bestimmte Aspekte der klassischen Mechanik wiederhergestellt werden können, wenn die Plancksche Konstante kleiner wird, aber meine Frage ist: Warum dürfen wir das tun? Schließlich verwenden wir die WKB-Näherung im Kontext der regulären Quantenmechanik, wo ℏ ist nur eine feste Zahl. Es ist für mich nicht wirklich nachvollziehbar, warum wir diese Annahme treffen können.

Antworten (2)

Wir lassen nie " ℏ → 0 ". Wie Sie sagten, das macht keinen Sinn, weil ℏ ist dimensional und auch in unserem Universum festgelegt.

Was wir meinen ℏ → 0 ist, dass wir nur physische Situationen betrachten, in denen die Aktion stattfindet S groß ist und somit die Grenze erreicht ℏ / S → 0 . Das ist, was das semiklassische Regime bedeutet .

Es ist so, als ob das "nichtrelativistische Regime" bedeutet, nur Objekte mit Geschwindigkeiten zu berücksichtigen v klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, v / C → 0 . Manchmal schreiben die Leute das schlampig als C → ∞ .

Ich bin mit dieser Antwort nicht einverstanden. Selbst wenn C Und ℏ dimensionsvoll sind, können sie in jedem gegebenen Einheitensystem sehr groß (oder sehr klein) sein. Ein unendlicher oder Nullwert bleibt in allen endlichen (dh nützlichen) Einheiten unendlich oder null.
@Cham Jede Erwähnung eines Einheitensystems ist eine Ablenkung. Ob ein gegebenes physikalisches System zB durch die klassische Mechanik genau beschrieben wird, kann man nicht ändern, indem man einfach die Einheiten ändert. Entscheidend ist, was das System tatsächlich tut.
0 kann Dimensionen haben. Ich kann zum Beispiel sagen, dass eine Entfernung 0 Meter beträgt. Diese Antwort spricht jedoch an, dass wir im Allgemeinen von einem Verhältnis sprechen, da dies eine konsistentere und präzisere Methode ist
@knzhou Sie haben Recht, dass sich die Physik nicht darum kümmern sollte, wie wir unsere Einheiten nennen, aber Einheiten sind aus Gründen der Buchhaltung und Konsistenzprüfung wichtig.
@LiamClink Der Punkt ist, dass, wenn Sie eine dimensionale Grenze wie nehmen ℏ → 0 , es ist mehrdeutig, was es bedeutet. Sie können den numerischen Wert von machen ℏ klein, indem Sie beispielsweise das Einheitensystem ändern, aber wir wissen, dass dies eigentlich nichts ändert - genau das ist das Problem, auf das das OP hinweist. Schreiben ℏ / S → 0 sinnvoller, weil es die Abhängigkeit von einem willkürlichen Einheitensystem entwirrt. Wenn ℏ / S für ein bestimmtes System klein ist, dann ist es in jedem Einheitensystem.
@LiamClink Ein weiteres Problem ℏ / S → 0 Fixes ist, dass es deutlich macht, dass das Nehmen des Limits überhaupt möglich ist. " ℏ → 0 " ist verwirrend, weil man sich eigentlich nicht ändern kann ℏ im wirklichen Leben, und wenn Sie es tatsächlich täten, weiß Gott, was passieren würde? " ℏ / S → 0 " sagt uns, dass die Grenze durch Fixieren genommen wird ℏ , wie es im wirklichen Leben festgelegt ist, und unter Berücksichtigung von Systemen mit immer größeren S .

Was passiert ist, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung in eine Taylor-Reihe erweitert wird ℏ , und die semiklassische Annäherung ist gut, wenn die Terme erster und höherer Ordnung relativ klein sind, und Sie sie daher fallen lassen können (was dasselbe ist wie die Einstellung ℏ auf Null), ohne die Form der Lösung stark zu beeinflussen. Wir dürfen dies nur tun, wenn die Koeffizienten höherer Ordnung nahe Null sind, und wenn sie es sind, ist das der Grund.

Der physikalische Grund ist, dass, wenn Sie zu ausreichend großen Maßstäben gelangen, ℏ kann genauso gut null sein, weil es so wenig Unterschied macht. Es ist nicht genau, aber dies ist eine Annäherung, also sind Sie bereits nicht genau. Sie machen nur eine andere Annahme, die das Gültigkeitsregime einschränkt, und das müssen Sie nur im Hinterkopf behalten.

Danke für die Antwort! Wenn Sie sagen "groß genug Skalen", wovon sprechen Sie genau?
Es hängt von den genauen Details ab, aber letztendlich ist "groß genug", wenn der durch diese Annäherung eingeführte Fehler akzeptabel ist, den Sie angeben müssen. Typischerweise ist man an einem kleinen relativen (Bruch-)Fehler interessiert, und wie klein er sein muss, liegt bei Ihnen. Es ist eine Annäherung, also müssen Sie entschieden haben, dass ein gewisses Maß an Ungenauigkeit akzeptabel ist, also wird es dadurch bestimmt. Im Allgemeinen sagen wir, dass eine Annäherung gültig ist, wenn der relative Fehler viel kleiner als 1 ist. Das ist jedoch keine exakte Aussage.
Ok, das macht Sinn, danke!
Warum dürfen wir im semiklassischen Regime ℏ → 0ℏ → 0\hbar \ \rightarrow \ 0 lassen?
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