Hawking-Strahlung aus der WKB-Näherung

Wenn ich diese Arbeit lese, die selbst eine Darlegung der Arbeit von Parikh und Wilczek ist , komme ich an einen Punkt, an dem ich der Berechnung nicht mehr folgen kann. Nun, das liegt zweifellos daran, dass meine Rechenfähigkeiten durch jahrzehntelange Atrophie beeinträchtigt wurden, also frage ich mich, ob jemand helfen kann. Das Papier berechnet den Tunneltransmissionskoeffizienten für ein Teilchen (Teil eines Teilchen/Antiteilchen-Paares), das direkt innerhalb des Horizonts erzeugt wird. Der WKB-Übertragungskoeffizient ist gegeben durch

$$T = exp({-\frac{2}{\hbar} Im(S)})$$ wobei "Im" der imaginäre Teil ist und die Handlung, $S$, wird über dem klassisch verbotenen Bereich ausgewertet. Unter Verwendung der Painleve-Gullstrand-Koordinaten für das Schwarze Loch leitet das Papier ziemlich einfach ab: $$Im(S) = Im \int_{2M}^{2(M-\omega)}{dr \int_{0}^{\omega}d\omega' {\frac{1}{1-\sqrt{\frac{2(M-\omega')}{r}}}}}$$ (Gl. 41). $\omega$ist die Energie, die von dem tunnelnden Teilchen ausgeführt wird. Jetzt ist der nächste Schritt, wo ich hängen bleibe. Die folgende Gleichung (42) legt nahe, dass die r-Integration durchgeführt wurde, um von (41) -> (42) zu kommen. Folgendes passiert, wenn ich es versuche:

Vermutlich ist das Konturintegral, auf das verwiesen wird, in der komplexifizierten r-Variablen enthalten. Die Art und Weise, wie das "r" erscheint, ist nicht sehr schön, also nehmen wir eine Ersetzung vor$z=r^{\frac{1}{2}}$, geben

$$Im \int_{2M}^{2(M-\omega)}dz{\frac{2z^2}{z-\sqrt{2(M-\omega')}}}$$ . Die Rede davon, die Kontur "in der E-Ebene" zu verformen, legt nahe, dass wir die Energie leicht imaginär machen - fügen Sie hinzu $i\delta$zu $\omega$wo $\delta$ist klein. Der Ausdruck $\sqrt{2(M-\omega+i\delta)}$kann dann in Potenzen von Delta entwickelt werden, wobei es übrig bleibt $\sqrt{2(M-\omega)}+i\delta$(Nach der Erweiterung habe ich Delta neu definiert, um die konstanten Faktoren herauszunehmen - das spielt keine Rolle, weil wir sowieso um die Stange herum konturintegriert werden, also macht es keinen Unterschied, die Stange ein wenig nach oben und unten zu bewegen). Die z-Ebene sieht also wie das erste Diagramm hier aus, wo das große X der verschobene Pol ist. Wir wollen schließlich das Integral zwischen den beiden Punkten auf der reellen Achse auswerten.

Nun, das einzige, was ich tun kann, ist, die in der zweiten Abbildung gezeigte grüne Kontur zu integrieren. Die Antwort ist gerecht$2\pi i$mal den Rest am einfachen Pol, dh in diesem Fall

$$2\pi i\cdot\lim_{z \to {\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta}}(z-\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta)\cdot \frac{2z^2}{(z-\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta}$$ , $$=2\pi i\cdot2\cdot(\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta)^2$$ $$=8\pi i \cdot(M-\omega')$$ ca.

Das sieht ähnlich aus wie ich will, nämlich$4\pi i \cdot(M-\omega')$um Gleichung (42) zu erhalten (abgesehen von einem Faktor von 2). Jedoch

(1) Der nächste Schritt wäre, das geschlossene Konturintegral mit dem Integral entlang der reellen Achse in Beziehung zu setzen. Leider beruht dies auf dem Verschwinden des Integranden für große$|z|$in der positiven Halbebene, aber das scheint hier nicht der Fall zu sein

(2) Und außerdem wollen wir das Integral zwischen$\sqrt{2(M-\omega)}$und$\sqrt{2M}$, wie würde ich also mit dem Integral entlang anderer Teile auf der realen Achse umgehen (dh außerhalb des klassisch verbotenen Bereichs)?

Alle Hinweise wären willkommen (oder eine alternative Methode zur Berechnung des Tunnelübertragungskoeffizienten).