Klassische Grenze in der Deformationsquantisierung

Question

Klassische Grenze in der Deformationsquantisierung

Physik
halbklassisch
wigner-transformation
Quantenmechanik
Hamiltonscher Formalismus
Verformungsquantisierung

user85503

Bei der Verformungsquantisierung ist beim Umgang mit dem Moyal-Produkt die klassische Grenze

\begin{aligned} lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{ich ℏ} [F, G]_{⋆_{M}} = {F, G} \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_M}=\{f,g\}\, \end{align}$

das ist nur die Poisson-Klammer. Nehmen wir an, wir haben einen Operator, $T$ , so dass

T (F ⋆_{M} G) = T F ⋆_{T} T G,

$T(f\star_Mg)=Tf\star_TTg,$ Wo

⋆_{T} = ⋆_{M} T^{- 1} [\overset{\leftarrow}{\partial}] T [\overset{\leftarrow}{\partial} + \vec{\partial}] T^{- 1} [\vec{\partial}] .

$\star_T=\star_MT^{-1}[\overleftarrow{\partial}]T[\overleftarrow{\partial}+\overrightarrow{\partial}]T^{-1}[\overrightarrow{\partial}].$ Hier,

T^{- 1} [\overset{\leftarrow}{\partial}]

$T^{-1}[\overleftarrow{\partial}]$ bedeutet, alle Ableitungen von zu ersetzen

\partial_{p}

$\partial_p$ In

T^{- 1}

$T^{-1}$ mit

{\overset{\leftarrow}{\partial}}_{p}

$\overleftarrow{\partial}_p$ und ähnlich für

\partial_{q}

$\partial_q$ . Wenn wir den klassischen Grenzwert berechnen wollen, verwenden wir

\begin{aligned} lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{ich ℏ} [F, G]_{⋆_{T}} \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T} \end{align}$

oder verwenden wir

\begin{aligned} lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{ich ℏ} T [F, G]_{⋆_{M}} = lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{ich ℏ} [T F, T G]_{⋆_{T}} ? \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}T[f,g]_{\star_M}= \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}? \end{align}$

Ich denke, dass wir diese zweite Gleichung verwenden, weil normalerweise $Tf\neq f$ Und $Tg\neq g$ . Ferner, wenn wir ein durch Hamiltonian beschriebenes System haben $H$ , dann bewerben wir uns $T$ dazu wird in dieser neuen Formulierung dieses System nicht mehr beschrieben $H$ , sondern durch $TH$ . Wenn wir nicht verwenden $Tf$ Und $Tg$ , es scheint nicht so, als ob wir die kohomologische Äquivalenz korrekt anwenden, weil $T(f\star_M g)\neq f\star_Tg$ .

user85503

Wenn wir überlegen

T = e^{a \partial_{p}}

$T=e^{a\partial_p}$ , Wo

a \in ℜ

$a\in\Re$ , Dann

⋆_{T} = ⋆_{M}

$\star_T=\star_M$ , So

lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{i ℏ} [f, g]_{⋆_{T}} = {f, g}

$\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}=\{f,g\}$ , Aber

lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{i ℏ} [T f, T g]_{⋆_{T}} = {T f, T g} \neq {f, g}

$\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}=\{Tf,Tg\}\neq\{f,g\}$ . Wenn wir weiter darüber nachdenken, benötigen wir

T

$T$ zu einer Reihe von bidifferentiellen Operatoren erweitert werden. Das würde dann bedeuten

T = e^{a \partial_{p}}

$T=e^{a\partial_p}$ kein gültiger Operator? Gibt es einen Grund, warum solche Operatoren normalerweise nicht berücksichtigt werden?

user85503

Wenn wir verwenden

T = e^{a \partial p}

$T=e^{a\partial p}$ , Wo

a

$a$ ist unabhängig von

ℏ

$\hbar$ und wende die Formel an

lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{i ℏ} [f, g]_{⋆_{T}}

$\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , dann ist die Grenze nur die Poisson-Klammer, anstatt auch einzubeziehen

a

$a$ (mit

f, g

$f,g$ auch unabhängig von

ℏ

$\hbar$ ) Ich frage mich, ob ich die falsche Formel für die klassische Grenze verwende, weil es so ist, als hätten wir sie nicht verwendet

T

$T$ an erster Stelle. (Als

T

$T$ eine Verschiebung des Impulses darstellt, möchten wir nicht, dass die klassische Grenze auch eine Verschiebung des Impulses beinhaltet?)

user85503

Und um das Spektrum der Husimi-Verteilung herauszuarbeiten, würden wir das nicht gleich anwenden

T

$T$ Zu

H ⋆_{M} W = E_{n} W

$H\star_MW=E_nW$ , so dass wir noch bekommen

ℏ (n + 1 / 2)

$\hbar(n+1/2)$ für das Spektrum von

T H

$TH$ ? Betrachtet man das Spektrum von

H

$H$ in der Husimi-Formulierung wäre unser Energiespektrum

E_{n} - 1 / 2 = ℏ n

$E_n-1/2=\hbar n$ (unter der Annahme, dass kein dummer Rechenfehler vorliegt).

Kosmas Zachos

Und wenn Sie Husimi betrachten, nein, Sie haben ignoriert, dass H nicht TH ist, also hat sich H verschoben: TH = H + ħ/2. Das ist der Punkt: Ein bloßer Sprachwechsel kann Ihnen unmöglich ein anderes Spektrum einbringen!!

Antworten (2)

Klassische Grenze in der Deformationsquantisierung

Wenn wir überlegen $T=e^{a\partial_p}$ , Wo $a\in\Re$ , Dann $\star_T=\star_M$ , So $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}=\{f,g\}$ , Aber $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}=\{Tf,Tg\}\neq\{f,g\}$ . Wenn wir weiter darüber nachdenken, benötigen wir $T$ zu einer Reihe von bidifferentiellen Operatoren erweitert werden. Das würde dann bedeuten $T=e^{a\partial_p}$ kein gültiger Operator? Gibt es einen Grund, warum solche Operatoren normalerweise nicht berücksichtigt werden?
Wenn wir verwenden $T=e^{a\partial p}$ , Wo $a$ ist unabhängig von $\hbar$ und wende die Formel an $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , dann ist die Grenze nur die Poisson-Klammer, anstatt auch einzubeziehen $a$ (mit $f,g$ auch unabhängig von $\hbar$ ) Ich frage mich, ob ich die falsche Formel für die klassische Grenze verwende, weil es so ist, als hätten wir sie nicht verwendet $T$ an erster Stelle. (Als $T$ eine Verschiebung des Impulses darstellt, möchten wir nicht, dass die klassische Grenze auch eine Verschiebung des Impulses beinhaltet?)
Und um das Spektrum der Husimi-Verteilung herauszuarbeiten, würden wir das nicht gleich anwenden $T$ Zu $H\star_MW=E_nW$ , so dass wir noch bekommen $\hbar(n+1/2)$ für das Spektrum von $TH$ ? Betrachtet man das Spektrum von $H$ in der Husimi-Formulierung wäre unser Energiespektrum $E_n-1/2=\hbar n$ (unter der Annahme, dass kein dummer Rechenfehler vorliegt).
Und wenn Sie Husimi betrachten, nein, Sie haben ignoriert, dass H nicht TH ist, also hat sich H verschoben: TH = H + ħ/2. Das ist der Punkt: Ein bloßer Sprachwechsel kann Ihnen unmöglich ein anderes Spektrum einbringen!!

QMechaniker · Answer 1

Die folgenden Kommentare scheinen für den Beitrag von OP relevant zu sein:

Bei Deformationsquantisierung ein assoziatives Sternprodukt
$\begin{matrix} (0) & ⋆ : C^{\infty} (M) [[ℏ]] \times C^{\infty} (M) [[ℏ]] \to C^{\infty} (M) [[ℏ]] \end{matrix}$ $\star:~~C^{\infty}(M)[[\hbar]]\times C^{\infty}(M)[[\hbar]]\to C^{\infty}(M)[[\hbar]] \tag{0}$ auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit $(M,\{\cdot,\cdot\}_{PB})$ sollte dem Korrespondenzprinzip genügen $\begin{matrix} (1) & lim_{ℏ \to 0} F ⋆ G = (lim_{ℏ \to 0} F) (lim_{ℏ \to 0} G), \end{matrix}$ $\lim_{\hbar\to 0} f\star g~=~\left(\lim_{\hbar\to 0}f\right) \left(\lim_{\hbar\to 0}g\right),\tag{1}$ $\begin{matrix} (2) & lim_{ℏ \to 0} \frac{[F \overset{⋆}{,} G]}{ich ℏ} = {lim_{ℏ \to 0} F, lim_{ℏ \to 0} G}_{P B} . \end{matrix}$ $\lim_{\hbar\to 0} \frac{[f\stackrel{\star}{,} g]}{i\hbar}~=~\left\{\lim_{\hbar\to 0}f,~\lim_{\hbar\to 0}g\right\}_{PB}. \tag{2}$ Hier haben wir den Sternkommutator definiert $\begin{matrix} (3) & [F \overset{⋆}{,} G] := F ⋆ G - G ⋆ F . \end{matrix}$ $[f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f. \tag{3}$
Man kann zeigen, dass das Korrespondenzprinzip (1) & (2) auch für ein anderes assoziatives Sternprodukt gilt
$\begin{matrix} (4) & F ⋆^{'} G := T^{- 1} ((T F) ⋆ (T G)), \end{matrix}$ $f\star^{\prime}g ~:=~T^{-1}((Tf)\star (Tg)),\tag{4}$ wenn der Betreiber $\begin{matrix} (5) & T : C^{\infty} (M) [[ℏ]] ⟶ C^{\infty} (M) [[ℏ]] \end{matrix}$ $T:~~C^{\infty}(M)[[\hbar]]~\longrightarrow C^{\infty}(M)[[\hbar]] \tag{5}$ ist von der Form $\begin{matrix} (6) & T = 1 + ich ℏ Δ + Ö (ℏ^{2}) \end{matrix}$ $T~=~{\bf 1} + i\hbar\Delta+{\cal O}(\hbar^2)\tag{6}$ Wo $\begin{matrix} (7) & Δ : C^{\infty} (M) ⟶ C^{\infty} (M) \end{matrix}$ $\Delta:~~C^{\infty}(M)~\longrightarrow C^{\infty}(M)\tag{7}$ ist (höchstens) ein Differentialoperator zweiter Ordnung.

Kosmas Zachos · Answer 2

Es könnte sich lohnen, Formeln wie (122,34,5; 131) aus unserem Buch zu überprüfen , aber ehrlich gesagt bin ich mir nicht sicher, ob ich verstehe, was der Frage zugrunde liegt und folgt, insbesondere der klassischen Grenzwertdiskussion.

Zunächst einmal beinhalten f,g und T in QM normalerweise ħ , da sie Wigner-Transformationen von Quantenoperatoren sind (Lemma 0.12): Dies erzeugt Feinheiten in der ħ ↝ 0- Grenze, die nicht mit T kommutieren müssen ; aber ich werde versuchen, Ihren Kommentar zu diktieren, dass keiner von ħ abhängt , was alles vereinfacht. Lassen Sie uns Platz sparen, indem Sie anrufen $\star_M=\star$ .

Da also T linear ist,

T ([F, G]_{⋆}) = [T F, T G]_{⋆_{T}} ⟹ [F, G]_{⋆} = T^{- 1} ([T F, T G]_{⋆_{T}}),

$T([f, g]_\star)= [Tf,Tg]_{\star_T} \Longrightarrow [f, g]_\star = T^{-1} ( [Tf,Tg]_{\star_T}),$ Die "klassische Grenze" ist also so etwas wie die ħ ↝ 0- Grenze davon.

Dies ist eine einfache Transkription des "Moyal"-Ausdrucks, der den PB ergibt, mit dem Sie Ihre Frage begonnen haben: Es handelt sich lediglich um einen Sprachwechsel .

Anwenden Ihres Tests $T=e^{a \partial_p}$ , eine Übersetzung in p , gibt Ihnen den gleichen Ausdruck, also, denn hier $\star_T=\star$ , ausnahmsweise und glücklicherweise, belaufen sich die beiden obigen Ausdrücke auf

[F (X, P + A), G (X, P + A)]_{⋆} \mapsto [F (X, P), G (X, P)]_{⋆} .

$[f(x,p+a),g(x,p+a)]_\star \mapsto [f(x,p),g(x,p)]_\star .$ Die jeweiligen klassischen Grenzen sind dann

{F (X, P + A), G (X, P + A)} \mapsto {F (X, P), G (X, P)} .

$\{f(x,p+a),g(x,p+a)\} \mapsto \{f(x,p),g(x,p)\} .$ Es liegt an Ihnen, zu wählen, welchen Ausdruck Sie als klassisches Verhalten betrachten möchten. Die PB-Algebra ist die gleiche und es liegt an Ihnen, die Funktionen im Argument anzugeben; Sie können sogar Variablen ändern, damit sie gleich aussehen. (Deshalb ist Ihr „richtig“ so verwirrend. Alle Ausdrücke haben klassische Grenzen, und es könnte interessant sein, alle diese zu kennen, aber wir haben gesehen, wie sie durch Äquivalenz zusammenhängen. Denken Sie auch daran, dass mehrere verschiedene Quantensysteme dieselbe klassische Grenze haben. )

Wenn Ihre a -Verschiebung in ħ linear wäre , wäre die klassische Grenze der beiden Ausdrücke dieselbe.

In der Husimi-Rezeptur

F_{_{H}} (X, P) = T [F] = \exp (\frac{ℏ}{4} (\partial_{X}^{2} + \partial_{P}^{2})) F = \frac{1}{π ℏ} \int D X^{'} D P^{'} \exp (- \frac{(X^{'} - X)^{2} + (P^{'} - P)^{2})}{ℏ}) F (X^{'}, P^{'}),

$f_{_H} (x,p) =T[f]= \exp \left({\hbar\over 4}(\partial_x^2 +\partial_p^2 ) \right) f \\ =\frac{1}{\pi\hbar}\int dx' dp' \exp \left( -{(x'-x)^2+(p'-p)^2 )\over \hbar} \right) f(x',p') ,$ und ebenso für die Observablen.

(So wird zum Beispiel der Oszillator Hamiltonian jetzt $\quad H_H= (p^2+x^2+\hbar)/2$ .)
Die darstellungsverändernde Abbildung T ist eine Weierstrass-Transformation, die im klassischen Limes auf die Identität kollabiert.

Mit dem deutlich anderen

⋆_{T} = ⋆_{H} = \exp (\frac{ℏ}{2} ({\overset{\leftarrow}{\partial}}_{X} {\vec{\partial}}_{X} + {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{P} {\vec{\partial}}_{P})) ⋆ = \exp (\frac{ℏ}{2} ({\overset{\leftarrow}{\partial}}_{X} - ich {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{P}) ({\vec{\partial}}_{X} + ich {\vec{\partial}}_{P})),

$\star_T= \star_H= \exp\left( \frac{\hbar}{2} (\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_x + \overleftarrow{\partial}_p \overrightarrow{\partial}_p ) \right) ~~\star~= \exp\left( \frac{\hbar}{2} (\overleftarrow{\partial}_x -i \overleftarrow{\partial}_p) (\overrightarrow{\partial}_x + i\overrightarrow{\partial}_p ) \right) ,$ es ist tatsächlich viel einfacher , die *-Genwertgleichung für diesen Hamiltonoperator zu lösen (Aufgabe 0.21), bis auf eine gewisse Sorgfalt beim Ursprung, als im Moyal-Bild: die resultierende ODE ist nur erster Ordnung!

Beide Bilder erzeugen natürlich das gleiche Spektrum an Sternenwerten, wie sie sollten. (Aber hier kein Platz für Selbstgefälligkeit: Die Grundzustands-Sternfunktion im Husimi-Bild ist die Quadratwurzel der im Wigner-Moyal-Bild. Können Sie das überprüfen? Beide werden am Ursprung in der klassischen Grenze zu δs.) An eine beliebige nichtstatische Husimi-Verteilung, genau wie eine Wigner-Funktion oder ein klassisches Objekt, rotieren starr im Phasenraum für einen Oszillator.

Die Erkenntnis ist, dass Betreiber, $[ \mathfrak {F}, \mathfrak{G}]$ , Moyal-Klammern, $[f(x,p),g(x,p)]_\star$ , alle anderen Korrektionsklammern, $[Tf,Tg]_{\star_T}$ , usw. sind natürlich ungleich, aber äquivalent: jede Operation in jeder Sprache wird Antworten erzeugen, die unter den invertierbaren Karten (Funktoren) äquivalent sind, die Sie von einem zum anderen führen. Da es sich insbesondere um Quantenmechanik handelt, sollten am Ende alle Erwartungswerte identisch sein. Infolgedessen ist die klassische Grenze davon streng identisch, auch wenn die Schritte, die dazu führen, unterschiedlich erscheinen: Denken Sie an eine Berechnung in Polarkoordinaten gegenüber kartesischen Koordinaten: Der Laplace-Operator sieht in jedem System sehr unterschiedlich aus, aber die Antworten sollten dieselben sein , nachdem sie in eine beliebige Sprache transkribiert wurden. (Natürlich ist das Moyal-Bild hier das „kartesische“ System, wie in diesem Buch beschrieben.)

Also, nur um sicherzugehen, dass ich einen der Punkte verstehe – wir haben die Formeln $[Tf,Tg]_{\star_T}=[f(x,p+a),g(x,p+a)]_{\star_M}$ Und $[f,g]_{\star_T}=[f,g]_{\star_M}$ . Beide haben leicht unterschiedliche Limits als $\hbar\to0$ (Denken Sie daran, auch durch zu dividieren $i\hbar$ ), aber wenn beide als klassische Grenzen gelten? Wäre der physische Unterschied, dass wir uns im ersten Fall transformieren? $f,g$ in derselben Sprache sein wie $T$ Und $\star_T$ , während wir im zweiten Fall sehen wollen, was in der Grenze für das Original passiert $f$ Und $g$ , aber mit $\star_T$ ist die neue binäre Operation?
Obwohl beide "richtig" sein mögen, scheint es, als würde es verwendet werden $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ ist besser zu verwenden, wenn wir uns ansehen wollen, wie $Tf$ Und $Tg$ könnte in der Grenze verwandt sein $\hbar\to0$ (wodurch die Poisson-Klammer oder eine ähnliche Größe entsteht). Interpretiere ich das richtig? Ich denke, meine größte Sorge ist, dass beides der Fall ist $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ Und $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ gültig sind, bin ich mir nicht sicher, wie ich mich entscheiden soll, das eine oder das andere zu verwenden.
Ich bin immer noch verwirrt über den Teil der Frage, den Sie nicht diskutieren. „Die klassische Grenze“ gibt es nicht. Sie haben die klassische Grenze mehrerer Ausdrücke und können damit machen, was Sie wollen. Wenn Sie von Operatoren ausgehen, erhalten Sie sehr unterschiedliche Wigner-Bilder f für M oder T, aber nach oben führt kein Sprachwechsel zu einer anderen klassischen Grenze!
Okay, also $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ ist "eine klassische Grenze" und $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ auch "eine klassische Grenze". Ausgehend von Operatoren $\hat{f}$ Und $\hat{g}$ , wir transformieren es in den Moyal-Formalismus oder den T-Formalismus, anwenden $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ , und wir bekommen eine Antwort. Wenn wir uns bewerben $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , sollten wir dieselbe Antwort erhalten (if $T$ beinhaltet $\hbar$ ). Wenn $T$ nicht einbezieht $\hbar$ , dann ist es in Ordnung, entweder eine der Grenzformeln zu verwenden?
Ich entschuldige mich für so viele Fragen. Bleiben wir beim Beispiel $T=e^{a\partial_p}$ ( $a\neq a(\hbar)$ ) im Hinterkopf, hoffe ich, die physikalische Begründung für die Grundlage zu verstehen $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}=\{f(x,p+a),g(x,p+a)\}$ Und $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}=\{f(x,p),g(x,p)\}$ . Ich denke, deshalb bin ich verwirrt. Wenn beide Formeln eine klassische Grenze ergeben, aber kein Sprachwechsel zu einer anderen klassischen Grenze führen soll, dann sollten beide Formeln dieselbe klassische Grenze ergeben. Noch, $\{f(x,p+a),g(x,p+a)\}\neq\{f(x,p),g(x,p)\}$ .
Ich bin mir über Ihre "physikalische Begründung" nicht sicher. Dies ist QM, und alles, was Sie am Ende erhalten, sind Erwartungswerte, und welches Bild Sie auch immer verwenden, Operatoren, Moyal, Husimi usw. ... all diese äquivalenten Bilder erzeugen gleiche Erwartungswerte und daher gleiche klassische Grenzen davon. Sie verwenden die für Sie bequemste Sprache.
Also dann zurück zu $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ gegen $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , da die klassischen Grenzen gleich sein sollten $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ sollte verwendet werden, wenn wir die Grenze von wissen wollen $f$ Und $g$ . Wenn wir jedoch die Grenze wissen wollen, mit der es verbunden ist $Tf$ Und $Tg$ , Dann $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ wird eingesetzt.
In Betracht ziehen $f=p$ Und $g=H$ . Wenn wir den Grenzwert für die Bewegungsgleichung von überprüfen wollen $p$ Und $H$ , wir gebrauchen $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ (unter Verwendung der Sprache in der $T$ Bild und ergibt die Poisson-Klammer wie gewünscht). Für die Bewegungsgleichung von $Tp$ Und $TH$ , würden wir also verwenden $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ .
Ja! Versuchen Sie es mit einem einfachen Erwartungswert, aber denken Sie daran, dass der Husimi-Stern usw. nicht in einem Phasenraumintegral verschwinden muss!!
Großartig! Vielen Dank für Ihre Hilfe. Ich habe das Gefühl, dass ich jetzt ein viel besseres Verständnis habe.

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Ist die Moyal-Liouville-Gleichung ∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]\frac{\partial \rho}{\partial t}= \frac{1}{ i\hbar} [H\stackrel{\star}{,}\rho] in Anwendungen verwendet?

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