Ist die Moyal-Liouville-Gleichung ∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]\frac{\partial \rho}{\partial t}= \frac{1}{ i\hbar} [H\stackrel{\star}{,}\rho] in Anwendungen verwendet?

"Im Zorn benutzt" oder "Killerap"? Meines Wissens wurde in der Phasenraum-Quantisierungssprache kein Problem gelöst, das in den anderen beiden Formulierungen/Bildern (Hilbert-Raum oder Pfadintegrale) nicht lösbar war. Dies steht zB im Gegensatz zu Pfadintegralen (deren Eichfixierung, Faddeev-Popov- und Fujikawa-Anomalieanwendungen für Eichtheorien praktisch unersetzlich sind; ebenso wie die Gittereichtheorie-Simulationen, die die QCD mit starker Kopplung revolutioniert haben).

In diesem Sinne stehen die besten Tage der Formulierung leider noch bevor....

Da es sich jedoch am besten für die Erforschung der quantenklassischen Schnittstelle eignet, ist es aufgrund der identischen Variablen, die es für beide Regime verwendet, einzigartig!, das Studium der Dekohärenz für die Visualisierung und sogar für die Ergebnisse wirklich darauf angewiesen! Ein klassisches Buch : Dekohärenz und das Erscheinen einer klassischen Welt in der Quantentheorie von Joos, Zeh, Kiefer, Giulini, Kusch und Stamatescu geht in Kapitel 3.2.3 in die Stadt. Es verwendet überzeugend die Formulierung weit, weit über jubelnde Neuheit und „Kinder belügen“, was manchmal der Modus bei solchen Streifzügen ist.

Als logische Folge verwendet man es glaubwürdig in Quantencomputing , Quantenteppichen – überspringen Sie nicht die Filme, und vor allem „Quantenchaos“ (ob es existiert oder nicht): Ich lasse Sie Ihre am wenigsten stressige Referenz finden .

So viel zur tiefen Unersetzlichkeit. Wenn es jedoch um heilsame Intuition geht, ist sie unvergleichlich. (Ich persönlich kann nicht widerstehen, zu diesem Bild zu rennen, um einen halbquantitativen Eindruck von irgendeiner klassischen Grenze zu bekommen.)

Wir beschreiben in unserer Broschüre ( A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space , TL Curtright, DB Fairlie, CK Zachos, World Scientific (2014) ISBN-13:978-9814520430), wie die starre SHO-Rotation hilft, zig Verwirrungen zu umgehen; B. durch Inspektion automatisch erkennen, welche Zustände des Oszillators den Antikommutator vernichten$\hat x$und$\hat p$, in dieser Formulierung nur$2xp$, eine einfache Phasenraum-Hyperbel: siehe Abb. 6.

Der Quantenoszillator im Hilbert-Raum scheint quasi-magische periodische Rekonstitutionsmerkmale von Wellenpaketen zu besitzen – bis seine offensichtlich starre Rotation im Phasenraum erkannt wird, was zu den weniger intuitiven x- oder p - Projektionen führt, wie oben. Auch die Logik kohärenter Zustände (gelb) ist ersichtlich. Daraus ergibt sich die Logik der Interaktionsdarstellung von Dirac, wo die Zustände starr auf einem SHO-Drehteller rotieren, während sie weiter gemäß der Interaktion wackeln und sich verändern.

Die Bedeutung von phasenintegrierten Zuständen, die stationäre Palisaden ergeben, die sich in Ausstechformen verwandeln, in den großen n- und kleinen ℏ-Grenzen sind ebenfalls nützlich (Abb. 4), eine schnelle Vorstellung davon, was stationäre Zustände in der klassischen Mechanik sind, wo sie kaum sind nützlich.

Viele Studenten grooven an der klassischen Grenze der Interferenzstruktur mit zwei Schlitzen (Abb. 1), wenn der Abstand zwischen den Schlitzen allmählich zunimmt.

Noch ernsthafter, es ebnete uns persönlich den Weg, den hartnäckigen Mythos zu zerstreuen, dass Nambu-Klammern irgendwie nicht quantifizierbar seien … es zeigte, dass die Natur sie bereits quantisiert hatte, während die Eingeweihten nicht hinsahen … (Zugegeben, wir mussten die Nachricht anschließend in den Hilbert-Raum transkribieren um die Massen zu überzeugen, aber das Fehlen des Phasenraum-Werkzeugs würde den Betrachter automatisch in einen konzeptionellen Nachteil bringen ...) Insbesondere deutete es auf fehlende konjugierte Quantenvariablen in ungeraden Dimensionen und die Phasenraum-Dichotomie zwischen geraden und ungeraden Zahlen hin, die Mathematikern, aber nicht Physikern, kaum bekannt ist . Aber ich schimpfe …

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Antwort Kommentar zu Kommentar/Frage : Die Moyal-Mechanik, die Evolutionsgleichung, die Sie geschrieben haben (tatsächlich von Wigner in seiner Arbeit von 1932 niedergeschrieben), ist die von Neumann-Gleichung in dieser Sprache und beschreibt die Entwicklung der Wigner-Funktion ρ . Es ist völlig äquivalent zu den entsprechenden *-Gleichungen für die Husimi-, Glauber-Sudarshan- usw. Wiederholungen, wie wir in den späteren Kapiteln unserer Broschüre detailliert beschreiben : Jede hat ihre eigenen *, ρ und H , die systematisch mit dem "Moyal" verbunden sind. eine (eigentlich von Groenewold entdeckt ). Vielleicht meinen Sie mit "Quantum" die Verwendung eines und$a^*$statt x und p ? Sie sind jedoch alle c-Nummer-Variablen ... Die Auswahl einer beliebigen ist eine Frage der Bequemlichkeit.

Wie wir beispielhaft zeigen, ist die Oszillator-*-Genwert-Gleichung im Husimi viel einfacher, und einige Leute sind unklugerweise von dieser beeindruckt, weil ihre Verteilung positiv semidefinit ist. (Unweise, weil sie das *-Maß bei der Berechnung von Erwartungswerten ignorieren, das nur in der Moyal / Wigner-Sprache fehlt - deshalb nennen einige Wigner das "kartesische Koordinatensystem" der Formulierung. Husimi-Verteilungen sind also weit weniger intuitiv vis-a - gegenüber der klassischen Grenze, nicht mehr, da die Menschen keine Mengen im Kopf zusammenfassen können! Sie schreiben dann falsche Papiere ...). Aber unter diesen Favoriten zu spielen, ist ebenso unvernünftig wie zwischen polaren und kartesischen Koordinaten Favoriten zu spielen. Normalerweise wählt das Problem das Handlichste.

Die Moyal-Liouville-Gleichung wird häufig bei Problemen mit kondensierter Materie verwendet, wo sie das Herzstück des sogenannten Transportformalismus oder der kinetischen Theorie bildet. Es ist auch in der Quantenoptik weit verbreitet. Bei diesen beiden Ansätzen geht man normalerweise von der Quantentheorie aus und entwickelt eine quasi-klassische Annäherung unter Verwendung der Wigner-Transformation oder verwandter Transformationen. Dies steht im Gegensatz zum Ansatz der Mathematiker, die normalerweise versuchen, von einer klassischen Theorie auszugehen und die Moyal- / Deformationsquantisierung zu verwenden, um das Quantenregime ohne die Notwendigkeit eines Hilbert-Raums zu beschreiben.

Ich werde auf all das später näher eingehen, wenn ich Zeit dazu finde.

Ich habe es nur analog für den Phasenraum in Form der Liouville-Van-Neumann-Gleichung verwendet gesehen. Es taucht normalerweise auf, wenn Dichtematrizen verwendet werden. Ein Beispiel, wo es in der Praxis verwendet wird, ist die Redfield-Wanganess-Bloch-Theorie zur Spin-Gitter-Relaxation.

Ich habe es für Berechnungen zur Quadrupol-Resonanz-Bildgebung verwendet, es ermöglicht einige nette Tricksereien. Slichters "Prinzipien der Magnetresonanz" ist eine gute Lektüre. Ich glaube, es gibt ein Kapitel über spektrale Dichte, in dem Liouville van Neumann verwendet wird.

Bearbeiten: Dieses Beispiel ist keine klassische Interpretation der Quantenmechanik, ich habe diesen Teil der Frage überlesen. Afaik die Liouville-Gleichung erfordert Inkompressibilität, die nur für den Phasenraum gilt. Und dort wird sie nur analog zur klassischen Liouville-Gleichung verwendet.

Die Moyal-Liouville-Gleichung kann als Anwendung der Wigner-Transformation auf die von Neumann-Gleichung angesehen werden. Das heißt, Sie denken im Kontext von Dichtematrizen.

Es gibt natürlich auch einen äquivalenten Ansatz, der auf der Einzelteilchen-Green-Funktion basiert. Seine Dyson-Gleichung in der Phasenraumdarstellung lautet

$$( \epsilon - H(x,p) + i0^+)~\star~G^\mathrm{R}(x,p) = \mathrm{id},$$

mit dem$\star$-Produkt in 4-Vektor-Notation definiert durch

$$\star \equiv \exp \left\lbrace \frac{i \hbar}{2} \left( \overset{\leftarrow}{\partial}_{x^\mu} \overset{\rightarrow}{\partial}_{p_\mu} - \overset{\leftarrow}{\partial}_{p_\mu} \overset{\rightarrow}{\partial}_{x^\mu} \right) \right\rbrace$$

Angenommen, Sie versuchen, die Wirkung eines homogenen Magnetfelds zu beschreiben$B$die auf Ihren orbitalen Freiheitsgrad in einem System von Kristallelektronen einwirkt. Wenn Sie die Standard-Störungstheorie anwenden wollten, stehen Sie vor einem Problem: dem zugehörigen Vektorpotential$A$ist raumabhängig, und dies bricht die Translationssymmetrie des Kristalls. Im Allgemeinen können Sie das Bloch-Theorem nicht anwenden und die Situation scheint aussichtslos.

Der kanonische Trick wäre dann, eine periodische Modulation des Magnetfelds auf einer Längenskala einzuführen$\lambda$. Führen Sie Ihre Berechnungen durch und nehmen Sie dann das Limit$\lambda\to\infty$am Ende des Tages. Auf diese Weise ist es möglich, Ihre Bloch-Wellen in allen Phasen der Ableitung intakt zu halten.

Es gibt jedoch einen viel einfacheren Weg, der auf der obigen Dyson-Gleichung basiert. Wenn Sie die Verschiebung durchführen$p \to p + e A(x) \equiv \pi$, können Sie Variablen in der Dyson-Gleichung ändern, indem Sie die Definition von ändern$\star$-Produkt zu

$$\star \rightarrow \exp \left\lbrace \frac{i \hbar}{2} \left( \overset{\leftarrow}{\partial}_{x^\mu} \overset{\rightarrow}{\partial}_{\pi_\mu} - \overset{\leftarrow}{\partial}_{\pi_\mu} \overset{\rightarrow}{\partial}_{x^\mu} - e F^{\mu\nu} \overset{\leftarrow}{\partial}_{\pi^\mu} \overset{\rightarrow}{\partial}_{\pi^\nu} \right) \right\rbrace .$$

Einfach durch Erweitern der Dyson-Gleichung in Potenzen des Feldtensors$F$, haben Sie jetzt eine Möglichkeit, Magnetfelder auf eine Weise zu behandeln, die viel einfacher ist als auf der Grundlage der Standard-Quantenmechanik.

Verweise

[1] Onoda, Sugimoto, Nagaosa (2006) https://arxiv.org/abs/cond-mat/0605363

[2] Zhuet al. (2012) https://arxiv.org/abs/1201.3446

Bei diesem Ansatz wird die Dynamik als Differentialgleichung in den Phasenraumkoordinaten ausgedrückt. Die Anzahl der Phasenraumkoordinaten ist fest und unabhängig von der Anzahl der Teilchen, während die Größe des Hilbert-Raums (typischerweise) mit der Anzahl der Bestandteile zunimmt. Das nächste, was zu beobachten ist, ist, dass die Moyal-Klammer an der Grenze eines großen Parameters liegt

$$\rho\star H-H\star \rho$$ kollabiert auf die übliche Poisson-Klammer, so dass die Quantendynamik in dieser Grenze zumindest für kurze Zeit der klassischen Dynamik sehr nahe kommt.

Es gibt viele Beispiele für Spinsysteme in Open-Access -Artikeln und auch in Phase Space Representation of Quantum Dynamics von A. Polkovnikov, Ann.Phys. (NY) vol. 325 (2010) 1790.