Messungen im Phasenraumbild der Quantenmechanik

Angenommen, wir haben es mit nichtrelativistischer Quantenmechanik von Punktteilchen zu tun, dh wir befinden uns im Bereich der 'klassischen' Quantenmechanik (keine Quantenfelder usw.).

Im Heisenberg-Bild werden Observablen durch selbstadjungierte Operatoren beschrieben, die auf einem Hilbert-Raum wirken. Wenn ein Zustand und eine Observable gegeben sind, wird eine Messung so modelliert, dass alle Eigenwerte dieses Operators die möglichen Ergebnisse sind.

Eine tatsächliche Messung hat dann einen der Eigenwerte als Ergebnis und nach der Messung wird der gemessene Zustandsvektor auf den entsprechenden Eigenvektor dieses Eigenwerts projiziert (ggf. kollabiert).

Andererseits beschreibt die Phasenraumbeschreibung der Quantenmechanik Observablen als Funktionen auf dem Phasenraum, aber nicht mit dem gewöhnlichen Punktprodukt (wie in der klassischen Mechanik auf dem Phasenraum), sondern mit a ⋆ -Produkt. Zum Beispiel das Moyal-Produkt.

Nun sind beide Beschreibungen über die Weil-Wigner-Transformation genau äquivalent. Das heißt, es gibt a priori keinen Grund, das eine dem anderen vorzuziehen.

Meine Frage ist: Wie werden Messung und Messergebnis in der modelliert ⋆ -Produktphasenraum Beschreibung des QM?

Hermann Weyl wird die Miterfindung der Karte zugeschrieben, nicht dem verzerrt-homophonen französischen Mathematiker. Welches spezifische Experiment haben Sie im Sinn, das möglicherweise von einem von mehreren äquivalenten QM-Formalismen abhängen könnte , aber nicht von anderen? Viele quantenoptische Experimente werden sowohl durch den Hilbert-Raum als auch durch den Phasenraum-Formalismus analysiert, wie es in Standardlehrbüchern ausführlich beschrieben wird.
Die Wahrscheinlichkeit experimenteller Ergebnisse sind die Erwartungswerte von Projektionsoperatoren. Wie passt das zu dieser Beschreibung?
@SeanE.Lake: Operatoren werden von der Wigner-Karte sofort in C-Zahlen-Funktionen abgebildet, sofern sie explizit und spezifisch aufgeschrieben werden. Reviews in Physics Today usw. erklären, wie Wigner-Funktionen auf diese Weise rekonstruiert ("gemessen") werden. Aber man muss zuerst sicherstellen, dass es keine Verwirrung oder Bedenken bezüglich des Messvorgangs gibt; worum es bei der Suche nach einem konkreten, engen Beispiel geht. Ich vermute, das OP kümmert sich nicht um Interferenzmuster für Schlitzexperimente ....
Jedes Experiment, das der Erklärung dient, ist gut genug, denke ich. Schlitzexperiment oder was auch immer. Mir geht es um die Übersetzung der Messvorschrift im Heisenbergbild in das Phasenraumbild.
Sie haben Hermann Weyls Namen falsch geschrieben.... (Andre Weil hat sich damit nie befasst... Nie.)
@CosmasZachos Natürlich würden die Franzosen argumentieren, dass Weyl das verzerrte Homophon ist ... ;)
@ZeroTheHero. Ach! ach...was hast du gemacht .....
Ja, es gibt keinen "wenn"-Teil in der Äquivalenz. Das habe ich nie gesagt. Weiß nicht, was dich zu diesem Schluss bringt. beide Bilder sind gleichwertig. Deshalb MÜSSEN die Zustandseinbrüche bei einer Messung ein Gegenstück im Phasenraumbild haben.
Ein Homophon? Ist das ein Telefon nur für unsere homosexuellen Mitmenschen?

Antworten (1)

Konzeptuell hat sich in den letzten 20 Jahren wenig geändert, um diesen herausragenden Physics Today-Artikel zu diesem Thema zur Sprache zu bringen.

Typischerweise werden in dem ikonischen Doppelspalt-Interferenzexperiment Wellenmuster auf einem Bildschirm beobachtet und gemessen und mit QM-Vorhersagen verglichen, typischerweise Erwartungswerten im Ortsraum. Durch die Stärke des mathematischen Theorems sind die Vorhersagen des Hilbert-Raums oder des Phasenraums QM zwangsläufig identisch .

Bei der Phasenraumquantisierung führt man das Impulsintegral durch, um eine Raumwahrscheinlichkeitsverteilung zu erzeugen, die mit der im Hilbert-Raum erzeugten identisch ist, und die zugehörigen Erwartungswerte, die in Standardtexten abgeleitet werden. Sie stehen immer im Einklang mit dem Unsicherheitsprinzip, dem Kernstück des QM. Dieses Prinzip lässt sich einfach durch kommutatorbasierte Ungleichungen und die Positivität der Norm in der Hilbert-Raumformulierung ableiten; und durch noch faszinierender ⋆ -Produktungleichungen und subtilere mathematische Merkmale in der Phasenraumformulierung. (Dieses Produkt wurde 1946 von H. Groenewold entdeckt – Moyal scheint damals nichts davon gewusst zu haben.)

Bearbeiten, um den Kommentar zu adressieren . Eine diskontinuierliche Änderung in der Wellenfunktion nach der Messung ist mutatis mutandis übersetzbar als diskontinuierlicher Zusammenbruch/Änderung in der Wigner-Funktion, der berühmten Wigner-Transformation der Dichtematrix. Eine verbesserte "Lokalisierung" der Wellenfunktion entspricht also einem "Squeezen" der Wigner-Funktion. Diese Wigner-Funktion entspricht dem Quasi-Wahrscheinlichkeitsmaß im Phasenraum und ist in Wellenfunktionen umwandelbar. Sie entwickelt sich „analog“ zu Wellenfunktionen durch die Moyal-Gleichung – das Analogon der von Neumann-Gleichung im Hilbert-Raum. Hier ist sein Doppelschlitzprofil vor der Reise zum Bildschirm und dem Zusammenbruch.Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

In dieser Formulierung würde sich also nichts im Messprozess anders darstellen.

Was ich meine ist folgendes: Im Heisenberg-Bild verändert eine Messung das System diskontinuierlich, indem sie den Zustand auf einen Eigenzustand dieses Operators projiziert. Das ist die Messung und der Kollaps der Wellenfunktion. Was ist das genaue Gegenstück zu diesem diskontinuierlichen Zusammenbruch im Phasenraumbild über die Weyl-Wigner-Korrespondenz? Was Sie beschrieben haben, ist die Übereinstimmung zwischen den messbaren Werten und den mathematischen Objekten, die die Messungen in beiden Bildern beschreiben. Das ist mir bewusst. Was ich im Phasenraumbild vermisse, ist das Äquivalent zu den Kollaps
Oder anders gesagt: Woher wissen wir im Phasenraumbild, ob eine Messung stattgefunden hat? Was ist nach der Messung anders. Im Heisenberg-Bild ist es der Zustand, der anders ist. Nach der Messung ist es der passende Eigenzustand, egal wie er vorher war.
Messungen im Phasenraumbild der Quantenmechanik
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