Über den Satz von Groenewold und klassische und Quanten-Hamiltonianer

Sie müssen wahrscheinlich Ivan Todorovs zugängliche Quantisierung ist ein Rätsel verinnerlichen . Ihre beste Wahl für die Beantwortung Ihrer Fragen ist die geometrische Quantisierung, nicht die Phasenraumquantisierung, an der Sie anscheinend hängen bleiben. Da ich der Logik Ihrer Schlussfolgerung / Frage nach der von Ihnen geschriebenen heuristischen Visionskarte von Dirac 1925 nicht gefolgt bin und kein breites Interesse an Quantisierungstricks habe, werde ich bei Ihrer Suche wahrscheinlich nicht so hilfreich sein. Der "verwandte" Link, den ich in die Kommentare eingefügt habe, könnte für Sie hilfreicher sein. Für eine gründliche Diskussion der Quantisierung haben sich gebnerations auf Abraham & Marsden, S. 425–452, gestützt.

Da jedoch Groenewolds atemberaubendes Theorem von 1946 das Buch über Deformationsquantisierung im Phasenraum beendete, könnte ich es genauso gut wiederholen, um Sie woanders wegzuschicken – wahrscheinlich geometrische Quantisierung.

• (Heute bedeutet "Deformationsquantisierung" lediglich "Quantentheorie im Phasenraum, dort als Deformation der klassischen Mechanik angesehen" ; es bedeutet definitiv nicht Quantisierung: systematische Ableitung einer konsistenten Quantentheorie durch einen eindeutigen Funktor aus der klassischen Mechanik . Das heißt weil Groenewold bewiesen hat, dass Weyls und von Neumanns fehlgeleitete Erwartungen an solche Dinge nicht erfüllt wurden. Mehr als früher quantisieren die Leute jetzt heuristisch, ziehen Quantentheorien aus gut informierten Hüten und sind damit einverstanden.)

Der Korrespondenzprinzipsatz von Groenewold besagt, dass es im Allgemeinen keine invertierbare lineare Abbildung aller Funktionen des Phasenraums gibt$f(x,p), g(x,p),...,$zu hermiteschen Operatoren im Hilbertraum${\mathfrak Q}(f)$,${\mathfrak Q}(g),...,$so dass die PB-Struktur erhalten bleibt,

$${\mathfrak Q} (\{ f,g\})= \frac{1}{i \hbar} ~ \Bigl [ ~ {\mathfrak Q}(f) , {\mathfrak Q} (g)~\Bigr ] ~,$$ wie in Diracs Funktor-Heuristik vorgesehen.

Stattdessen die Weyl-Korrespondenzkarte von 1927 von Phasenraumfunktionen zu geordneten Operatoren im Hilbert-Raum,

$${\mathfrak W}(f) \equiv \frac{1}{(2\pi)^2}\int d\tau d\sigma dx dp ~ f(x,p) \exp (i\tau ({ {\mathfrak p}}-p)+i\sigma ({ {\mathfrak x}}-x)),$$ bestimmt die$\star$-Produkt ein
${\mathfrak W} (f\star g) ={\mathfrak W} (f) ~ {\mathfrak W} (g)$, und damit die Moyal Bracket Lie-Algebra,
$${\mathfrak W} (\{\!\!\{ f,g \}\!\!\} )= \frac{1}{i \hbar} ~ \Bigl [ {\mathfrak W}(f) , {\mathfrak W} (g) \Bigr ] .$$

Es ist dann der MB anstelle des PB, der invertierbar auf den Quantenkommutator abgebildet wird.

Die beiden unendlichdimensionalen Lie-Algebren MB und PB sind wesentlich verschieden. (Eigentlich ist PB eine Wigner-İnönü-Kontraktion des MB, analog zu$SU(\infty)$eine Kontraktion von SU(N) ist .)

Das heißt, die mit der Phasenraumquantisierung verbundene "Verformung" ist nicht trivial: Die (beobachtbaren) Quantenfunktionen müssen im Allgemeinen nicht mit den klassischen übereinstimmen und enthalten mehr Informationen als diese (Groenewold).

Zum Beispiel die Wigner-Transformation (inverse Weyl-Transformation) des Quadrats des Drehimpulses${\mathfrak L}\cdot {\mathfrak L}$erweist sich$L^2 - 3 \hbar^2/2$, signifikant für die Bohr-Bahn im Grundzustand.

Groenewolds berühmtes Gegenbeispiel stellte fest, dass der klassisch verschwindende PB-Ausdruck

$$\bbox[yellow]{ \{x^3 ,p^3\}+ \frac{1}{12} \{\{p^2,x^3\} , \{x^2,p^3\}\} = 0 }$$ ist anomal bei der Implementierung von Diracs heuristischem Vorschlag, Kommutatoren von zu ersetzen${\mathfrak Q}(x), {\mathfrak Q}(p),...$, für PBs nach Quantisierung: Tatsächlich ergibt diese Substitution oder die äquivalente Substitution von MBs für PBs eine Groenewold-Anomalie ,$-3 \hbar^2$, für diesen spezifischen Ausdruck.

Man versuchte jahrzehntelang vergeblich, stattdessen (!?) eine „bessere“ Ordnungsvorschrift als die von Weyl zu finden, die auf magische Weise (Stein der Weisen in der Quantisierungschrysopoeia?) aus klassischen Quantenobservablen „richtig“ erzeugen würde. Bis sie erkannten, wie alle Ordnungsvorschriften technisch äquivalent sind, also durch eine Äquivalenz-(Basis-)Transformation mit Weyls verbunden sind. Alle Vorschriften erzeugen Klammern, die zu Kommutatoren isomorph sind, und daher MBs, die Lie-Algebra von QM:

• QM-Observables sind ein Irrep der MB, nicht der PB unendlichdimensionaler Lie-Algebra.

Was also tun die Menschen in der Praxis? Was Sie oben gesehen haben. Es ist trivial, den Hamiltonian zu quantisieren (es sei denn, Sie haben es mit geschwindigkeitsabhängigen Potentialen zu tun, die Koordinaten und Impulse mischen), indem Sie die gewünschten Spektren und Symmetrien des Problems wählen. Dann basteln sie die geeigneten Observablen wie den Drehimpuls zusammen, wie Pauli es bei seiner Lösung des Wasserstoffatoms mit SO(4)-Symmetrie getan hat. Sie können dann überprüfen, dass viele Observablen gegen „konsistente Quantisierungserfordernisse“ wie hier verstoßen (weitere Observablen, die so „aufspielen“, sind das Boltzmann-Exponential), und lächeln, mit den Schultern zucken und weitermachen. Eine Tatsache des Lebens. Was bewog frühe Praktiker zu erwarten, dass die klassische Mechanik ausreichen würde, um die Quantenmechanik mit ihrer wilden Abhängigkeit von der Planck-Konstante durch einen Funktor vollständig zu spezifizieren? Als ob$\hbar$fehlten zusätzliche Informationen über die klassische Physik hinaus? Dachten sie an Einschränkungen der magischen Analytizität? Du sagst es mir.