Beispiel einer quantenmechanischen Theorie mit nichttrivialem klassischem Limes

Bei der Quantisierung einer symplektischen Mannigfaltigkeit (Phasenraum)$M$, gibt es klassische Grenzwertsätze der Konvergenz der Operatoralgebra des Quantensystems zur Poisson-Algebra der Funktionen auf der symplektischen Mannigfaltigkeit, von der wir ausgegangen sind, im Grenzwert$\hbar \rightarrow 0$:

$$\lim_{\hbar \rightarrow 0}||T_f^{\frac{1}{\hbar}}|| = |f|_{\infty}$$ $$\lim_{\hbar \rightarrow 0}||[T_f^{ \frac{1}{\hbar}}, T_g^{ \frac{1}{\hbar}}]- i T_{\left \{f, g \right\}}^{ \frac{1}{\hbar}} ||= 0$$

Wo$T_f^{\frac{1}{\hbar}}$ist der Toeplitz-Operator, der das Observable darstellt$\hat{f}_{\frac{1}{\hbar} }$im Quanten-Hilbert-Raum (der als Faltungskern für die Wellenfunktionen fungiert):

$$(\hat{f}_{\frac{1}{\hbar} }\circ \psi)(x) = \int_M d\mu_{L}(M) h^{\frac{1}{\hbar}} (x,y) T_f^{\frac{1}{\hbar}}(x,y) \psi(y)$$ Wo: $d\mu_{L}$ist das Liouville-Maß an $M$Und $h$ist eine Metrik auf den Fasern des Quantisierungslinienbündels.

Die Toeplitz-Operatoren können auf einer kohärenten Zustandsbasis ausgedrückt werden als:$|x\rangle_{\frac{1}{\hbar}}$,

$$T_f^{\frac{1}{\hbar}}(x,y) = _{\frac{1}{\hbar}}\langle y| \hat{f}_{\frac{1}{\hbar} } | |x\rangle_{\frac{1}{\hbar}}$$ Der Wert von $\hbar$wird durch die Wahl der Metrik auf den Fasern oder äquivalent der kohärenten Zustandsbasis gesteuert.

Bordemann, Meinrenken und Schlichenmaier haben den obigen Satz für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten bewiesen. Ihr Beweis gilt sowohl für die Berezin-Toeplitz-Quantisierung als auch für die geometrische Quantisierung, deren Toeplitz-Operatoren mit den Berezin-Toeplitz-Operatoren durch die Tuynman-Formel zusammenhängen:

$$Q_f ^{\frac{1}{\hbar}} = T_{f-\frac{\hbar}{2}\Delta}^{\frac{1}{\hbar}}$$

Dieser Satz wurde von Ma und Marinescu für die Berezin-Toeplitz-Quantisierung nicht kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten und Orbifolds und allgemeiner symplektischer Mannigfaltigkeiten verallgemeinert .

Charles und Polterovich erhielten schärfere Abschätzungen für die semiklassischen Grenzen bei kompakten Mannigfaltigkeiten.

Die obige Geschichte gilt, wenn wir eine gegebene Mannigfaltigkeit zu Beginn quantisieren. Aber manchmal kennen wir nur die Operatoralgebra und den Hamiltonoperator, wie zum Beispiel im Fall von Spinmodellen. In diesem Fall (siehe Gnutzmann, Haake und Kuś ) gibt es bestimmte Einzelfälle, in denen die Operatoralgebra isomorph mittels Toeplitz-Operatoren auf zwei (oder mehr) verschiedenen Phasenräumen dargestellt werden kann, die sich als klassische Grenzwerte herausstellen. In diesem Fall sind die klassischen Theorien völlig unterschiedlich, wenn die Poisson-Struktur nicht entartet ist, ist der klassische Grenzwert integrierbar, wenn sie entartet ist, ist der klassische Grenzwert chaotisch.