Warum liefert der klassische Pfad den dominierenden Beitrag im Pfadintegral?

In der klassischen Grenze$\hbar\to 0$, dies ist nur die Näherung der WKB/stationären Phase .

1. Heuristisch nahe einer stationären Feldkonfiguration$\phi_0$mit

   $$\left. \frac{\delta S[\phi]}{\delta\phi}\right|_{\phi_0}~=~0\tag{1}$$ im Feldkonfigurationsraum die Aktion $$S[\phi]~=~S[\phi_0]+{\cal O}\left((\phi-\phi_0)^2\right)\tag{2}$$ ändert sich langsam, also die Phasenfaktoren$\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi]\right)$aus benachbarten Feldkonfigurationen zusammenfassen und einen Beitrag leisten; während weg von einer stationären Feldkonfiguration$\phi_0$, ändert sich die Aktion schnell, und die Phasen benachbarter Feldkonfigurationen sind unkorreliert und heben sich im Durchschnitt auf.

2. Perturbativ in der Nähe jeder stationären Feldkonfiguration$\phi_0$, lassen Sie uns das Feld parametrisieren

   $$\phi^k~=~\phi^k_0+\sqrt{\hbar}\eta^k\tag{3}$$ in Form eines Quantenfluktuationsfeldes$\eta^k$. Dann lautet das Argument der Exponentialfunktion$^1$ $$\begin{align}\frac{i}{\hbar}S[\phi]~=~&\frac{i}{\hbar}S[\phi_0] ~+~ \frac{i}{2}H_{k\ell}[\phi_0]~\eta^k\eta^{\ell} \cr &~+~ {\cal O}(\sqrt{\hbar}),\end{align}\tag{4}$$ Wo $$H_{k\ell}[\phi]~:=~ \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^k\delta\phi^{\ell}}\tag{5}$$ ist der Hessische . Das Pfad-/Funktionsintegral $$\begin{align}Z~=~~&\int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi]\right) \cr \stackrel{(3)+(4)}{=}&\sum_{\phi_0}\int\!{\cal D}\eta~\cr &\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi_0]+\frac{i}{2}H_{k\ell}[\phi_0]~\eta^k\eta^{\ell} + {\cal O}(\sqrt{\hbar})\right)\cr \stackrel{\text{WKB}}{\sim}~&\sum_{\phi_0}{\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_0]\right)^{-1/2}~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi_0]\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0\end{align}\tag{6}$$ wird formal eine Summe über Instantonen $\phi_0$, dh klassische Feldkonfigurationen.

3. Eine einfache Einführung in dieses Thema mit vielen Bildern und fast ohne Formeln finden Sie zB in diesem Blogbeitrag von The Physics Mill.

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$^1$Hier verwenden wir die komprimierte DeWitt-Notation .

Die Beiträge von Pfaden, die vom klassischen Pfad abweichen, werden durch Interferenz unterdrückt.