Feynmans Ableitung der Schrödinger-Gleichung

Ich lese gerade folgenden Artikel:

Feynmans Ableitung der Schrödinger-Gleichung

In diesem Artikel behauptet der Autor, dass die Feynman-Ableitung der Schrödinger-Gleichung ein Schlüsselaspekt der Entwicklung des Pfadintegral-Ansatzes für die Quantenmechanik war. Es gibt jedoch einen Schritt in der Ableitung, den ich nicht verstehe, es ist das Argument dieses Schritts:

(Seite 883): Diesen Ausdruck in Diracs Integralgleichung einzusetzen ergibt:

$$\psi(x,t+\epsilon) \approx \int \exp\left(\frac{mi(x-y)^2}{2\hbar \epsilon}\right) \times \left[ 1-\frac{i}{\hbar}\epsilon U\left( \frac{x+y}{2} \right)\right]\psi(y,t)dy \tag{4.7}$$ Obwohl die Integration reicht aus$-\infty$Zu$\infty$, war Feynman der Meinung, dass die schnelle Oszillation des Exponentialfaktors (aufgrund der kleinen Größen der Planckschen Konstante und des Zeitintervalls) dazu führen würde, dass der Integrand klein ist, außer wo$x-y$war ebenfalls klein . Also beschloss er, das Integral in Bezug auf die Differenz umzuschreiben$x-y=\xi$; $$\psi(x,t+\epsilon) \approx \int \exp\left(\frac{mi\xi^2}{2\hbar \epsilon}\right) \times \left[ 1-\frac{i}{\hbar}\epsilon U\left( x-\frac{1}{2}\xi \right)\right]\psi(x-\xi,t)d\xi \tag{4.8}$$ Da das Integral nur dann groß ist, wenn$\xi$klein ist , lag es für Feynman nahe, zu expandieren$\psi(x-\xi)$in einer Taylor-Reihe ...

Ich verstehe nicht, warum wir eine solche Annäherung machen können. Meine Intuition in komplexer Integration ist ebenfalls gering. Einige Referenzen sind willkommen. Aber ich habe gelesen, dass man in der Störungstheorie Dinge bekommt wie:$e^{i\phi}$. Wenn$\phi$schnell schwingt, dann können wir den Begriff vernachlässigen, aber ich habe nie wirklich verstanden, warum. Außerdem verstehe ich in einem Integral nicht, warum, wenn wir machen$\xi$groß, geht das Integral gegen Null.