Bei Potential V(x)=ax6V(x)=ax6V(x)= ax^6 hängt das quantisierte Energieniveau EEE von welcher Potenz von nnn ab?

Für groß$n$, ist die semiklassische Näherung gültig und für gebundene Zustände können wir die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung verwenden:

$n = \frac{1}{h}\oint p dq$, wo$n$ist die Hauptquantenzahl,$h$, die Planck-Konstante,$q$, die Position und$p$, das Momentum auf der klassischen Flugbahn.

In unserem Fall aufgrund der Energieerhaltung:

$\frac{p^2}{2m}+ax^6 = E \rightarrow p = \sqrt{2m(E-ax^6)}$,

wo$m$ist die Masse und$E$, die Gesamtenergie.

Durch Substitution erhalten wir:

$n = \frac{1}{h}\int_{-(E/a)^{1/6} }^{(E/a)^{1/6} }\sqrt{2m(E-ax^6)} dx$,

wobei die Integration zwischen den beiden Wendepunkten liegt. Durch Skalierung der Integrationsvariablen:

$x =( \frac{E}{a})^{1/6}y$

Wir erhalten:

$n = \frac{\sqrt{2m}}{h}{(\frac{E}{a})}^{2/3}\int_{-1 }^{1} \sqrt{(1-y^6)} dy$.

Daher:

$E \propto n^{3/2}$

Sie wissen es vielleicht nicht, aber die Quantenzahl „n“ hat eine klassische Interpretation als Aktionsvariable „J“. Die Aktionsvariable misst die Fläche im Phasenraum der klassischen Umlaufbahn,

Und die Entsprechung zwischen J und n war bekannt, bevor die Quantentheorie entwickelt wurde. Es ist einfach, die Bahnform im Phasenraum für jeden Wert von J auszuarbeiten und herauszufinden, wie die Abhängigkeit zwischen E und J klassisch ist. Dies würde Ihr Problem im Korrespondenzlimit im Limit von großen n lösen.