Berechnung einer Zustandsdichte des Hamiltonschen H=xpH=xp H=xp

Question

Berechnung einer Zustandsdichte des Hamiltonschen H=xpH=xp H=xp

Physik
hamiltonisch
Quantisierung
halbklassisch
Zustandsdichte
Quantenmechanik

José Javier García

Wie könnte ich das Integral berechnen?

N (E) = \int D X \int D P H (E - X P)

$N(E)~=~ \int dx \int dp~ H(E-xp)$

die 'Fläche' innerhalb des Phasenraums wird genommen $x \ge 0$ Und $p\ge 0$ ? Das Ergebnis sollte sein

N (E) = \frac{E}{2 π} Protokoll \frac{E}{2 π} - \frac{E}{2 π},

$N(E)~=~ \frac{E}{2\pi}\log\frac{E}{2\pi}-\frac{E}{2\pi} ,$

aber ich kann es nicht einmal mit Cut-Offs bekommen :( Was mache ich falsch, um das zu berechnen? Hier $H(x)$ ist die Heaviside-Funktion. Zumindest bräuchte ich Hilfe, um den Begriff mit der Heaviside-Funktion loszuwerden $H(E-xp)$ des Quadranten, wo beide $x$ Und $p$ sind positiv.

Vijay Murthy

Sie fragen im Grunde nach der Fläche, die zwischen der rechteckigen Hyperbel eingeschlossen ist

x p = E

$xp=E$ und seine Asymptoten (die zufällig die sind

x

$x$ Und

p

$p$ Achsen). Wo sind die Grenzen

x

$x$ Und

p

$p$ ?

Valdo

Sollte nicht

H

$H$ hermitesch sein?

x p

$xp$ ist nicht!

José Javier García

H ist hermitesch, denken Sie daran, wie der Quantenoperator liest

H = \frac{x p + p x}{2}

$H= \frac{xp+px}{2}$ Und

x^{T} p^{T} = p x

$x^{T}p^{T}=px$

Antworten (1)

Berechnung einer Zustandsdichte des Hamiltonschen H=xpH=xp H=xp

Sie fragen im Grunde nach der Fläche, die zwischen der rechteckigen Hyperbel eingeschlossen ist $xp=E$ und seine Asymptoten (die zufällig die sind $x$ Und $p$ Achsen). Wo sind die Grenzen $x$ Und $p$ ?
H ist hermitesch, denken Sie daran, wie der Quantenoperator liest $H= \frac{xp+px}{2}$ Und $x^{T}p^{T}=px$

QMechaniker · Answer 1

Diese Frage (v1) wird in der Nähe von Gl. (8) in Ref.-Nr. 1.

Die einfachste Regularisierung besteht darin, die Variablen abzuschneiden $x\geq\ell_x$ Und $p\geq\ell_p$ an Abschlägen $\ell_x$ Und $\ell_p$ , so dass das Produkt $\ell_x \ell_p = h$ ist die Plancksche Konstante.

In einem (n $(x,p)$ Diagramm, der abgeschnittene Bereich unter der Hyperbel $p=\frac{E}{x}$ liest in Planck-Einheiten

\begin{aligned} N (E) \approx & \int_{ℓ_{X}}^{\infty} \frac{D X}{H} \int_{ℓ_{P}}^{\infty} D P θ (E - X P) \\ = & \int_{ℓ_{X}}^{\frac{E}{ℓ_{P}}} \frac{D X}{H} (\frac{E}{X} - ℓ_{P}) \\ = & \frac{1}{H} {[E \ln X - ℓ_{P} X]}_{X = ℓ_{X}}^{X = \frac{E}{ℓ_{P}}} \\ = & \frac{E}{H} (\ln \frac{E}{H} - 1) + 1, \end{aligned}

$\begin{align} N(E) ~\approx~&\int_{\ell_x}^{\infty}\frac{dx}{h}\int_{\ell_p}^{\infty}dp~\theta(E-xp)\cr ~=~&\int_{\ell_x}^{\frac{E}{\ell_p}}\frac{dx}{h} \left(\frac{E}{x}-\ell_p\right) \cr ~=~&\frac{1}{h} \left[E\ln x-\ell_p x\right]_{x=\ell_x}^{x=\frac{E}{\ell_p}}\cr ~=~&\frac{E}{h}\left(\ln\frac{E}{h}-1\right)+1,\end{align}$

Wo $\theta$ ist die Heaviside-Schrittfunktion.

Verweise:

MV Berry und JP Keating, H = xp und die Riemann-Nullen. In JP Keating, DE Khmelnitski und IV Lerner, Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder (1999) 355–367. ( PDF-Suche )

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Valdo

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