Alkaliatom im oszillierenden elektromagnetischen Feld

Ich versuche, den Hamiltonian der Wechselwirkung zwischen Atom und Licht (EM-Feld) zu berechnen, und die Ergebnisse, die ich bekomme, erscheinen mir ziemlich unphysikalisch - ich bekomme einige Matrixelemente ungleich Null, die nicht da sein sollten. Können Sie mir bitte helfen, indem Sie auf Fehler in meiner Berechnung hinweisen / Ratschläge geben?

So bekomme ich Matrixelemente der Atom-Licht-Wechselwirkung Hamiltonian:

Atom - Licht Wechselwirkung wird semiklassisch behandelt. Die Lichtpolarisationskonvention wird aus dem Buch " Optically polarized Atoms. Understanding Light-Atom Interactions " von Auzinsh, Budker & Rochester übernommen. Zusamenfassend,$\pi$Polarisation = elektrischer Feldvektor oszilliert entlang der z -Achse;$\sigma^\pm$entsprechen einem elektrischen Feldvektor, der sich in der xy- Ebene dreht, während sich das Licht in positiver Richtung der z- Achse ausbreitet: z$\sigma^+$elektrisches Feld gegen den Uhrzeigersinn dreht, gesehen von der positiven Richtung der z- Achse, während z$\sigma^-$elektrisches Feld dreht sich im Uhrzeigersinn.

Vektoren werden unter Verwendung ihrer Komponenten in der sphärischen Basis beschrieben (siehe Abschnitt 3.1.2 des Buches von Auzinsh et al.). Kovariante Basisvektoren sind mit der kartesischen Basis verwandt$\hat{x},\hat{y},\hat{z}$wie folgt (Auzinsh et al. Gl. 3.8ac):

$\hat{\epsilon}_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \hat{x} + i\hat{y}\right)\\ \hat{\epsilon}_0=\hat{z}\\ \hat{\epsilon}_{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \hat{x} - i\hat{y}\right)$

Komponenten eines Vektors$\mathbf{v}$in dieser Basis sind kontravariante Größen (Auzinsh et al. Gl. 3.16ac):

$v^1=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( v_x - iv_y\right)\\ v^0=v_z\\ v^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( v_x + iv_y\right)$

Skalarprodukt des Vektors in der sphärischen Basis:$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\sum_{q=-1}^{1}{a_q b^q}$.

Beziehung zwischen Komponenten von$\mathbf{v}$Und$\mathbf{v}^*$(konjugierter Vektor) ist (Auzinsh et al. Gl. D.36, D.41):

$\left(v^*\right)^q=\left(-1\right)^q\left(v^{-q}\right)^*$

Modellieren Sie der Einfachheit halber ein Atom als Zwei-Niveau-System mit dem gesamten elektronischen Drehimpuls beider Niveaus$J_g=J_e=\frac{1}{2}$. Daher besteht jedes Energieniveau aus zwei entarteten Quantenzuständen$m_J=\pm\frac{1}{2}$. In einem solchen System$\pi$(linear) polarisiertes Licht induziert beides$\Delta m_{J} = 0$Übergänge. Zirkuläre Polarisationen sollten jedoch jeweils nur einen Übergang induzieren:$|g,m_J=-\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=\frac{1}{2}\rangle$für$\sigma^+$Polarisierung u$|g,m_J=\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=-\frac{1}{2}\rangle$für$\sigma^-$Polarisation.

Der elektrische Anteil des Lichts ist (räumliche Variation vernachlässigt):

$\mathbf{E}=\frac{E_0}{2}\left(\mathbf{v}e^{-i\omega t}+\mathbf{v}^*e^{i\omega t}\right)$

Hier$E_0$ist die Amplitude des Feldes,$\mathbf{v}$ist Polarisationsvektor,$\omega$Kreisfrequenz ist.

Nun ist die Energie eines elektrischen Dipols im elektrischen Feld:

$\hat{H}=\hat{\mathbf{d}}\cdot\mathbf{E}$

Hier$\hat{\mathbf{d}} = -e\hat{\mathbf{r}}$.

$\hat{H}=\sum_{q}\hat{d}_q E^q = \frac{E_0}{2}\sum_{q}\hat{d}_q \left(v^qe^{-i\omega t}+\left(v^*\right)^qe^{i\omega t}\right)$

Bei der Berechnung von Matrixelementen werden Werte von$\hat{d}_q$werden unter Verwendung des Wigner-Eckart-Theorems (Buch von Auzinsh et al., Gl. 3.121) erhalten:

$\langle\eta^\prime,m_J^\prime|\hat{d}_q|\eta,m_J\rangle = \left(-1\right)^{J^\prime-m_J^\prime} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & q & m_J \end{array} \right)$

Hier$\langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle$reduziertes Dipolmatrixelement ist, und$\left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & q & m_J \end{array} \right)$ist Wigner 3-j-Symbol. Daher sind Matrixelemente des Hamilton-Operators:$\langle\eta^\prime,m_J^\prime|\hat{H}|\eta,m_J\rangle = \frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left(-1\right)^{J^\prime-m_J^\prime} \sum_{q} \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & q & m_J \end{array} \right) \left(v^qe^{-i\omega t}+\left(v^*\right)^qe^{i\omega t}\right)$

Betrachten Sie nun das Atom, das mit interagiert$\sigma^+$polarisiertes Licht. In der sphärischen Basis sind die Komponenten des Polarisationsvektors:$v^1=1,v^0=0,v^{-1}=0$, und Komponenten seines konjugierten Vektors sind:$\left(v^*\right)^1=0,\left(v^*\right)^0=0,\left(v^*\right)^{-1}=-1$. Matrixelemente des Wechselwirkungs-Hamiltonoperators sind:

$\langle\eta^\prime,m_J^\prime|\hat{H}_{\sigma^+}|\eta,m_J\rangle = \frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left(-1\right)^{J^\prime-m_J^\prime} \left[ \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & 1 & m_J \end{array} \right) e^{-i\omega t} - \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & -1 & m_J \end{array} \right) e^{i\omega t}\right]$

Für den Übergang$|g,m_J=-\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=\frac{1}{2}\rangle$alles scheint in ordnung zu sein. Nicht-Null-Werte des Matrixelements$\langle g,m_J=-\frac{1}{2}|\hat{H}_{\sigma^+}|e,m_J=\frac{1}{2}\rangle$und seine konjugierte Transponierte$\langle e,m_J=\frac{1}{2}|\hat{H}_{\sigma^+}|g,m_J=-\frac{1}{2}\rangle$werden durch Begriffe bereitgestellt, die enthalten$e^{i \omega t}$Und$e^{-i \omega t}$entsprechend.

Matrixelemente ungleich Null entsprechen jedoch dem Übergang$|g,m_J=\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=-\frac{1}{2}\rangle$tauchen auch im Hamiltonian auf!

$\langle g,\frac{1}{2}|\hat{H}_{\sigma^+}|e,-\frac{1}{2}\rangle = \frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left(-1\right)^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \left[ \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \end{array} \right) e^{-i\omega t} -\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \end{array} \right) e^{i\omega t}\right]=\\ =-\frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left[ -\frac{1}{\sqrt{3}} e^{-i\omega t} -0 e^{i\omega t}\right] \neq 0$

was nicht sein sollte! Derzeit ist die einzige "Lösung", die mir einfällt, die quantenmechanische Behandlung des Lichtfelds - in diesem Fall kümmern sich Photonenerzeugungs- / -vernichtungsoperatoren um diese Matrixelemente. Allerdings möchte ich mein Problem halbklassisch behandeln.

Bearbeiten: Heute hatte ich die Gelegenheit, diese Frage einem Gastprofessor der St. Petersburg State University zu stellen. Er überzeugte mich, dass meine Berechnung keinen Fehler enthält. Die Matrixelemente, um die ich mir Sorgen gemacht habe, sind eigentlich die gegenläufigen (negative Frequenz) Terme . Die Anwendung der Rotationswellennäherung ermöglicht es, sie loszuwerden. Siehe die Antwort von emarti für eine ausführlichere Erklärung.