Was ist der Unterschied zwischen der Einstein-Brillouin-Keller (EBK)-Quantisierung und der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung?

Die korrekte EBK-Quantisierungsregel lautet:

wo die zweite ganze Zahl$\gamma_j$ist der Maslov-Index (oder Keller-Maslov-Index), eine topologische Zahl, die 1958 von Joseph B. Keller (und unabhängig von Victor P. Maslov) entdeckt wurde. Dieser Maslov-Index fehlte in der alten Bohr-Sommerfeld-Theorie.

(Beispiel: Für den eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt:$\gamma = 2$, und die EBK - Quantisierungsregel ergibt das exakte Quantenspektrum ; das Weglassen des Maslov-Index würde zu einem falschen Ergebnis führen.)

Zuvor hatte Einstein (bereits 1917) bemerkt, dass eine solche Quantisierungsvorschrift nur auf integrierbare Systeme anwendbar sei , deren Phasenräume invariante Tori besitzen.

Lesen Sie zB: A. Douglas Stone, Einsteins unbekannte Einsicht und das Problem der Quantisierung des Chaos , Physics Today 58 (8) (August 2005), 37-43.

Ich denke, Sie meinen die WKB-Quantisierung$^{[1]}$. Sommerfelds Regel geht der WBK-Annäherung um fast ein Jahrzehnt voraus.

Sommerfelds Quantisierung war eine heuristische Regel, die zu der Zeit sehr gut zu funktionieren schien, aber bekanntermaßen viele Einschränkungen hatte. Sie wurde bald von Schrödingers Theorie abgelöst, die viel vollständiger ist.

Nachdem die Schrödinger-Gleichung formuliert worden war, bewiesen Wentzel, Kramers und Brillouin, dass die Sommerfeld-Regel tatsächlich nur ein Sonderfall eines breiteren Rahmens von Approximationstechniken ist, die auf Eigenwertprobleme angewendet werden können. Mit anderen Worten, WKB hat die Sommerfeldsche Regel im Kontext der Schrödinger-Gleichung verallgemeinert. Sie bewiesen, dass der intuitive Ansatz von Sommerfeld tatsächlich in Schrödingers Theorie enthalten war.

Kurz gesagt: Sommerfeld hat seine Regel vor Schrödingers Gleichung entwickelt, und WKB hat bewiesen, dass letztere erstere als Unterfall enthält. Darüber hinaus erweiterten sie die Analyse auf komplexere Probleme. Das bedeutet, dass das Sommerfeld-Verfahren und das WKB-Verfahren (im Wesentlichen) gleichwertig sind, aber einen sehr unterschiedlichen historischen Ursprung haben.

$^{[1]}$Scheint auch EBK-Quantisierung genannt zu werden, zB hier . Soweit ich weiß, lautet der Standardname für die Methode WKB, obwohl ich die historischen Details darüber, wer die Methode als erster entwickelt hat, nicht kenne.