Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung aus der WKB-Näherung

Wie kann man die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung beweisen?

∮ p   d q   =   2 π n ℏ

aus der WKB-Ansatzlösung

Ψ ( x )   =   e ich S ( x ) / ℏ
für die Schrödinger-Gleichung?

Mit S die Wirkung des durch die Hamilton-Jacobi-Gleichung definierten Teilchens

∂ S ∂ t + ( ∇ S ) 2 2 m + v ( x )   =   0 .

Antworten (1)

Die halbklassischen/Bohr-Sommerfeld/Wilson-Sommerfeld/ WKB / EBK - Quantisierungsregel und Verbindungsformeln werden in zahlreichen Lehrbüchern diskutiert. Die Bedingung der diskreten Quantisierung folgt aus der Forderung nach Eindeutigkeit der Wellenfunktion. Beachten Sie, dass die Quantisierungsformel aufgrund von Wendepunkten durch die metaplektische Korrektur / den Maslov-Index modifiziert wird .

Für eine elementare Behandlung siehe z. B. Refs. 1-7 unten. Eine strenge Behandlung finden Sie in diesem Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

  1. D. Griffiths, Einführung in QM, 2. Auflage, 2004; Kapitel 9.

  2. LD Landau & EM Lifschitz, QM, Bd. 3, 3. Auflage, 1981; Kapitel VII.

  3. A. Galindo & P. ​​Pascual, QM II, 1991; Kapitel 9.

  4. P.Cvitanovic et. al., Chaos: Classical and Quantum, 2013; Abschnitte 37.1-36.7. Die Gutzwiller-Spurformel wird in Kapitel 39 besprochen. Die PDF-Datei ist unter www.chaosbook.org verfügbar . (Da das Buch ständig aktualisiert wird, kann sich die Kapitelnummer in Zukunft verschieben.)

  5. HS Friedrich, Theoretische Atomphysik , 1998; Abschnitt 1.5.3.

  6. RG Littlejohn, The WKB Method , Vorlesungsskript, 2019.

  7. Weylsches Gesetz .

Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung aus der WKB-Näherung
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