Was ist ein „Wendepunkt“ in WKB und warum scheitert es an diesem Punkt?

Ein klassischer Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Gesamtenergie des Systems abfällt$E$gleich der potentiellen Energie$V.$Über diesen Punkt hinaus, dh z$E<V$das Potential größer ist als die Gesamtenergie, solche Fälle bezeichnen wir als klassisch verbotene Bereiche , weil aus rein klassischer Sicht das System keine Chance hat, sich in einem Zustand zu befinden, in dem seine potentielle Energie größer als seine Gesamtenergie oder in einem anderen Zustand ist Wörter mit negativer kinetischer Energie$E - V < 0.$

Um zu sehen, warum die WKB-Näherung an diesem Punkt fehlschlägt, erinnern wir uns an die zeitunabhängige Form der Schrödinger-Gleichung (arbeiten wir zur Vereinfachung mit 1D):

$$\begin{align*} \frac{d^2\psi }{dx^2}+k^2(x)\psi(x)&= 0 \\ k^2(x) = \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))&=\frac{p^2(x)}{\hbar^2} \end{align*}$$ Mit $k(x)$der Wellenvektor und $p(x)$ist der lokale klassische Impuls, der einer klassischen Energiezerlegung entspricht $E.$Nun genügt es, die WKB-Lösungen 0-ter Ordnung zu betrachten, die ebene Wellen mit Amplituden unabhängig von sind $x$, folgendermaßen:

$$\psi(x)=Ae^{\pm iu(x)}$$ Was, wenn Sie TISE ersetzen und eine langsame Veränderung annehmen $k(x)$dann kann man die zweite Ableitung von vernachlässigen $u(x)$und löse nach $u(x)$, was dann einfach das klassische Wirkungsintegral ist: $$s(x)=u(x)\hbar = \pm \int^x p(x')dx'$$ Damit kommen wir zu unserer WKB-Lösung 0. Ordnung:

$$\psi_0 (x) = \exp \left[\pm i \int^x k(x')dx'\right]$$

Jetzt müssen wir die Gültigkeit dieser Lösung überprüfen, dafür fügen wir ein$\psi_0(x)$zurück in unsere erste TISE-Gleichung und erhalten:

$$\frac{d^2\psi_0}{dx^2}+ \left[k^2(x) \mp i\frac{dk}{dx}\right] \psi_0(x)=0$$ Aus dem obigen Ergebnis ist nun klar, dass z $\psi_0(x)$um eine strenge Lösung zu sein (dh um einer gültigen Lösung unserer ursprünglichen TISE zu entsprechen), dann:

$$\begin{align*} \left\lvert \frac{dk}{dx} \right\rvert &<< k^2(x) \\ \left\lvert \frac{1}{k}\frac{dk}{dx} \right\rvert &<< k(x) \end{align*}$$ Eine Bedingung, die am Wendepunkt ( $k \to 0$) Weil $1/k$weicht ab. Diese Gültigkeitsbedingung pflanzt sich durch WKB-Lösungen höherer Ordnung fort, z. B. ist die WKB-Lösung 1. Ordnung vom Typ:

$$\psi_1(x) = \frac{C}{\sqrt{k(x)}}\exp\left[\pm i \int^x k(x')dx'\right]$$ Wieder am klassischen Wendepunkt, wann $k \to 0$wir sehen, dass die Amplitude explodiert und die Wellenfunktion $\psi_1(x)$ist nicht mehr gültig (weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie hier )

Wenn Sie nun versuchen, WKB anzuwenden, ist die Intuition, dass in den klassisch zulässigen Regionen ($E>V$), werden die trigonometrischen WKB-Lösungen verwendet und in den klassisch verbotenen Bereichen werden exponentiell abfallende Lösungen genommen (und nicht nur Null, weil die Quantenmechanik immer noch eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zulässt, dass sich das System in einem klassisch verbotenen Bereich befindet). was, damit die Annäherung physikalisch sinnvoll bleibt.