Ansatz von Landau & Lifshitz (Konturmethode) zu den WKB-Verbindungsformeln

I) L&L beziehen sich auf ein linearisiertes Modell, bei dem die TISE

$$\begin{align} \hbar^2\psi^{\prime\prime}(x) +P^2(x) \psi(x)~=~&0,\cr P(x)~:=~ \sqrt{2m (E-V(x))}~=~& |P(x)| e^{i\theta(x)}, \end{align} \tag{1}$$

wird zur Airy-Differentialgleichung . Kurz vor einem Wendepunkt$x_0$, können wir den quadratischen Impuls approximieren

$$\begin{align} P^2(x)~\approx~& \alpha (x\!-\!x_0), \cr (P^2)^{\prime}(x)~\approx~&\alpha~=~2mF_0 ~\neq~0,\end{align} \tag{2}$$

mit einer affinen Funktion , wo$\alpha\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ist eine reelle Konstante ungleich Null. (Im Beispiel von L&L$\alpha < 0$ist negativ).

II) Lassen Sie uns zunächst das Argument von L&L wiedergeben. Im klassisch erlaubten Bereich$x<x_0$, L&L wählen das Momentum$P^{>}>0$positiv. (Die hochgestellten$>$Und$<$beziehen sich auf die klassisch erlaubten bzw. verbotenen Bereiche.) Daraus wird die WKB-Wellenfunktion (47.2).

$$\begin{align} \psi^{>}~\stackrel{(47.2)}{=}&~\frac{1}{\sqrt{P^{>}}}\sum_{\pm}C_{\pm} \exp\left(\pm \frac{i}{\hbar}\int_{x_0}^x \! P^{>}~\mathrm{d}x\right) \cr ~=~&\frac{1}{\sqrt{|P|}} \sum_{\pm}C_{\pm} \exp\left( \mp \frac{2i\sqrt{|\alpha|}}{3\hbar}\left(x_0-x \right)^{\frac{3}{2}}\right)\cr & \qquad\text{for}\qquad x<x_0.\end{align}\tag{3}$$

III) L&L setzt als nächstes die WKB-Wellenfunktion (47.1) (die im klassisch verbotenen Bereich gilt) entlang eines (oberen/unteren) Halbkreises im Komplex analytisch fort$x$-Ebene

$$x-x_0~=~\rho e^{\pm i\phi} , \qquad \phi~\in~[0,\pi], \tag{47.4a}$$

um die WKB-Verbindungsformeln abzuleiten . L&L wählen die Impulsvariable

$$\begin{align} P^{<}~=~&\sqrt{|\alpha|(x-x_0)}\cr ~=~&\sqrt{|\alpha|}\rho^{\frac{1}{2}} e^{\pm\frac{ i\phi}{2}}, \qquad \rho~>~0,\end{align}\tag{4}$$

damit es positiv anfängt

$$\left. P^{<}\right|_{\phi=0} ~=~|P|~>~0. \tag{5}$$

Die analytische Fortsetzung der WKB-Wellenfunktion (47.1) wird dann

$$\begin{align} \psi^{<}~\stackrel{(47.1)}{=}&~\frac{C}{2\sqrt{P^{<}}} \exp\left( -\frac{1}{\hbar}\int_{x_0}^x \! P^{<}~\mathrm{d}x\right)\cr ~=~&\frac{C}{2\sqrt{|P|}} \exp\left( -\frac{2\sqrt{|\alpha|}\rho^{\frac{3}{2}}e^{\pm\frac{ i3\phi}{2}} }{3\hbar} \mp i\frac{\phi}{4}\right). \end{align}\tag{6}$$

Indem man es einstellt$\phi=\pi$in Gl. (6) und im Vergleich mit der WKB-Wellenfunktion (3) folgt aus der analytischen Fortsetzung entlang des (oberen/unteren) Halbkreises, dass

$$\begin{align} C_2~\equiv~& C_-~=~\frac{C}{2}e^{-\frac{i\pi}{4}}, \tag{47.4b}\cr C_1~\equiv~& C_+~=~\frac{C}{2}e^{\frac{i\pi}{4}} , \tag{47.4c}\end{align}$$

bzw. Das ist das Hauptargument von L&L. (Wir werden auf die Frage, was mit dem anderen Zweig geschieht, in Abschnitt VII unten zurückkommen.)

IV) Alternativ kann man, da die Airy-Funktionen Fourier-Integraldarstellungen haben (vgl. z. B. meine Math.SE-Antwort hier ), stattdessen die Methode des steilsten Abstiegs verwenden , um passende asymptotische Erweiterungen auf jeder Seite des Wendepunkts abzuleiten. Es ist interessant, diese Methode mit dem obigen Argument von L&L zu vergleichen.

Man kann zeigen, dass die Airy-ähnliche Wellenfunktion

$$\psi(x) ~=~ \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}}\int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right),\tag{7}$$ $$\begin{align} S(p,x)~:=~& px - \tilde{S}(p), \cr \tilde{S}(p)~:=~& p\left(x_0+\frac{p^2}{3\alpha}\right),\end{align} \tag{8}$$ $$\begin{align} S^{\prime}(p,x)~=~&x-\tilde{S}^{\prime}(p)\cr ~=~& x\!-\!x_0 - \frac{p^2}{\alpha}\cr ~\stackrel{(2)}{\approx}~& \frac{P^2(x)-p^2}{\alpha},\end{align} \tag{9}$$ $$-S^{\prime\prime}(p,x)~=~\tilde{S}^{\prime\prime}(p)~=~ \frac{2p}{\alpha},\tag{10}$$

erfüllt die TISE (1):

$$\begin{align} \hbar^2& \psi^{\prime\prime}(x) +P^2(x) \psi(x)\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~\left(P^2(x)- p^2\right) \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right)\cr ~\stackrel{(9)}{\approx}~& -i \hbar \alpha\sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~\frac{d}{dp} \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right)\cr ~=~&0 \end{align}\tag{11}$$

für die gewählte Kontur im Komplex$p$-Ebene.

V) Es gibt 2 kritische Punkte:

$$\begin{align} p_{\sigma} ~=~& \sigma~ {\rm sgn}(\alpha)~P , \cr S_{\sigma}~=~& \frac{2\sigma P^3 }{3|\alpha|} , \cr S^{\prime\prime}_{\sigma}~=~& -2\sigma |\alpha| P , \cr \sigma ~\in~&\{\pm 1\}.\end{align} \tag{12}$$

Der steilste Abfallbeitrag von jedem kritischen Punkt kommt von einem Gaußschen Integral :

$$\begin{align} I_{\sigma}~=~& \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \sqrt{\frac{2\pi i\hbar}{S^{\prime\prime}_{\sigma} } } \exp\left(\frac{i S_{\sigma}}{\hbar}\right)\cr ~=~&\frac{1}{\sqrt{P}} \exp\left(\frac{2i\sigma P^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{i\sigma \pi}{4}\right)\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}} \exp\left(\frac{2i\sigma |P|^3e^{3i\theta}}{3\hbar |\alpha|} -i\left(\frac{\sigma \pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)\right) \end{align} \tag{13}$$

mit winkelig steilster Abstiegsrichtung$-\frac{\sigma \pi}{4}-\frac{\theta}{2}$.

$\uparrow$Abb. 1. Der Komplex$p$-Ebene mit 3 möglichen Integrationskonturen${\cal C}_1$,${\cal C}_2$,${\cal C}_3$für$\alpha<0$. Die schattierten Bereiche bezeichnen exponentiell abfallende Sektoren. (Wenn$\alpha>0$, es ist umgekehrt.) Da der Integrand eine ganze Funktion in ist$p$, Die$p$-Integrale hängen nur von der Monodromie der Kontur ab. (Abbildung aus Lit. [W].)

VI) Kehren wir nun mit zum Beispiel von L&L zurück$\alpha<0$.

Klassische verbotene Region$x>x_0$: Dann$P=\pm i|P|$, mit$\theta=\pm \frac{\pi}{2}$, Wo$\pm$entspricht zwei verschiedenen möglichen Vorzeichenwahlen. Die Kontur entlang der realen$p$-Achse wird durch die dem kritischen Punkt entsprechende steilste Abstiegskontur wiedergegeben$p_{\mp 1}$:

$$\begin{align} \psi_{<}(x)~\sim~& I_{\mp 1}\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}} \exp\left(-\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} \right). \end{align} \tag{14}$$

Klassisch erlaubte Region$x<x_0$: Dann$P=|P|>0$mit$\theta=0$. Die Kontur entlang der realen$p$-Achse ergibt sich aus der Summe der beiden steilsten Abstiegskonturen:

$$\begin{align} \psi_{>}(x)~\sim~& \sum_{\sigma\in\{\pm 1\}}I_{\sigma}\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}}\sum_{\sigma\in\{\pm 1\}} \exp\left(i\sigma\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{ \pi}{4}\right)\right)\cr ~=~&\frac{2}{\sqrt{|P|}} \cos\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{\pi}{4} \right)\cr ~=~& \frac{2}{\sqrt{|P|}} \sin\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} +\frac{\pi}{4} \right).\end{align} \tag{15}$$

Durch den Vergleich von Gl. (14) & (15) haben wir eine Verbindungsformel hergeleitet. Im Detail, indem man die Beiträge zu den kritischen Punkten vergleicht$p_{\mp 1}$, leiten wir die Gleichungen von L&L ab. (47.4c) bzw. (47.4b). Die beiden Methoden stimmen also überein.

VII) Exponentiell wachsende Lösungen sind physikalisch möglich, wenn der klassisch verbotene Bereich endliche Länge hat, zB beim Quantentunneln. Im Beispiel von L&L ist der klassisch verbotene Bereich jedoch nicht kompakt, sodass exponentiell wachsende Lösungen verworfen werden müssen.

Es bleibt zu erklären, warum nur einer der beiden Schwingungszweige auf der klassisch erlaubten Seite analytisch auf die klassisch verbotene Seite fortgesetzt wird.

Einerseits argumentiert L&L, dass dem exponentiell wachsenden WKB-Zweig während des Jahres nicht vertraut werden kann$\frac{3\pi}{2}$Phasenverschiebung im Boltzmann-Faktor, weil er momentan exponentiell unterdrückt wird. Dies unterstreicht die Tatsache, dass die Verbindungsformeln unidirektional sind.

Andererseits kreuzt man aus Sicht der Methode des steilsten Abstiegs in den Abschnitten IV-VI eine Stokes-Linie im Komplex$x$-Ebene, so dass die steilsten Abstiegskonturen im Komplex Monodromie aufnehmen$p$-Flugzeug, vgl. Abb. 1.

Weitere Informationen finden Sie auch z. B. in meiner verwandten Phys.SE-Antwort hier .

VIII) Schließlich sollten wir erwähnen, dass die$\frac{\pi}{2}$Phasenverschiebung zwischen einlaufender und auslaufender Welle am Wendepunkt in Gl. (15) entspricht einem Maslov-Index $|\mu|=1$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Verweise:

• [LL] LD Landau & EM Lifshitz, QM, Bd. 3, 2. und 3. Auflage, 1981;$\S47$&$\S b$.

• [W] E. Witten, Analytische Fortsetzung der Chern-Simons-Theorie, arXiv:1001.2933 ; P. 23-29, 48-49. Ein verwandter KITP-Vortrag von Witten aus dem Jahr 2015, A New Look At The Path Integral Of Quantum Mechanics, ist auf YouTube zu finden .