Muss die Wellenfunktion (reell) analytisch sein?

Um die Erhaltung der Normalisierung der Wellenfunktion (vorerst in einer Dimension) zu zeigen, zeigt man, dass die Zeitdifferenz Null ist, was den folgenden Schritt nach sich zieht:

D D T ∫ − ∞ ∞ Ψ ∗ Ψ D X = ∫ − ∞ ∞ ∂ ∂ T Ψ ∗ Ψ D X

Ich habe einen Beweis dafür gesehen Ψ = Ψ ( z , T ) , z ∈ C , mit der Bedingung, dass Ψ ist analytisch auf einem einfach verbundenen komplexen Bereich, der die Grenzen der Integration enthält. Bedeutet dies dann, dass eine gültige Wellenfunktion eine analytische Fortsetzung zu einem Bereich haben muss, der die reelle Gerade enthält, oder gibt es einen alternativen Satz für reelle Funktionen reeller Variablen ( Ψ ∗ Ψ , in diesem Fall) mit schwächeren Bedingungen?

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Lassen H sei ein separabler Hilbertraum. Angenommen, der Hamiltonian H ist ein dicht definierter selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich D ( H ) ⊂ H . Dann für alle ϕ ∈ D ( H ) , ich ∂ T e − ich T H ϕ = H e − ich T H ϕ , Wo e − ich T H ϕ ist die eindeutige Lösung der Schrödinger-Gleichung.

Jetzt, e − ich T H ist ein einheitlicher Operator für alle T ∈ R . Also lass ψ ∈ H , und überlegen

“ e − ich T H ψ “ 2 = ⟨ e − ich T H ψ , e − ich T H ψ ⟩ = ⟨ ψ , ψ ⟩ = “ ψ “ 2 ,
das gilt für jeden T ∈ R und alle ψ ∈ H (ein allgemeiner Hilbertraum). Sie können also sehen, dass die Norm durch die Zeitentwicklung erhalten bleibt. Wenn Sie die Ableitung wirklich rechtzeitig nehmen wollen, müssen Sie sich auf beschränken ψ ∈ D ( H ) , wo die Herleitung Sinn macht, wie ich oben geschrieben habe. Also für jeden ϕ ∈ D ( H ) :
1 2 ∂ T “ e − ich T H ϕ “ 2 = ICH M ⟨ e − ich T H ϕ , H e − ich T H ϕ ⟩ = 0 ⇒ “ e − ich T H ϕ “ 2 = “ ϕ “ 2 .
Die letzte Gleichheit kann beliebig erweitert werden ψ ∈ H durch ein Dichteargument unter Verwendung einer Sequenz ( ψ J ) J ∈ N von Vektoren in D ( H ) Annäherung ψ .

PS Es ist ungewöhnlich, einen Wellenfunktionsraum komplexer Variablen zu betrachten, aber es ist in der Bargmann-Segal-Darstellung möglich. Wie auch immer, Sie können die Ableitungs- und Integrationszeichen vertauschen, wenn Sie den Satz der dominierten Konvergenz anwenden können (die Ableitung als Grenzwert schreiben), zB wenn die Wellenfunktion mit beschränkter Ableitung differenzierbar ist. Auch in dem Beweis, den ich oben geschrieben habe, ist ein Grenzwertverfahren implizit und gerechtfertigt durch die Differenzierbarkeit in T von e − ich T H (im Sinne starker/schwacher Operatoren im Bereich von H / H 1 / 2 ).

Der Punkt ist, dass die zeitliche Normierung der Wellenfunktion für jede Wellenfunktion des physikalischen Quantenraums bewiesen werden kann, da die zeitliche Entwicklung (Lösung der Schrödinger-Gleichung) einheitlich ist. Dies ist eine Anforderung von Quantentheorien und muss explizit verifiziert werden: Dies geschieht normalerweise durch Überprüfung der Selbstadjungiertheit des Hamilton-Operators.
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