Floquet-Quasienergiespektrum, kontinuierlich oder diskret?

In der stationären Schrödinger-Gleichung können wir ein kontinuierliches oder ein diskretes Spektrum haben. Wie sieht es mit Floquet-Quasienergien aus?

Sie können beides haben. In gewisser Hinsicht ist es trivial, dies zu zeigen, da jeder konstante Hamiltonoperator auch periodisch ist, aber vermutlich wollen Sie noch mehr physikalische Beispiele, also hier zwei.

• Beginnen Sie für ein kontinuierliches Spektrum mit einem nicht-relativistischen freien geladenen Teilchen und fügen Sie ein oszillierendes gleichförmiges elektrisches Feld hinzu, also der Hamilton-Operator

  $$\hat H(t)=\frac12\hat p^2+\hat x\,E_0\cos(\omega t).$$ Die saubersten Lösungen sind Volkov-Staaten$|\Psi_p(t)⟩$, das sind ebene Wellen mit kanonischem Impuls$p$sondern ein kinematisches Momentum$p+A(t)=p+\tfrac{E_0}{\omega}\sin(\omega t)$die dem Vektorpotential des Feldes folgt, dh $$⟨x|\Psi_p(t)⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac i2\int^t(p+A(\tau))^2\mathrm d\tau}e^{i(p+A(t))x}.$$ (Modulo-Konstanten und Vorzeichen, die Sie selbst überprüfen sollten.) Die Volkov-Zustände sind Floquet-Zustände mit Quasienergie $$\varepsilon_p=\frac{p^2}{2}+U_p=\frac{p^2}{2}+\frac{E_0^2}{4\omega^2},$$ Wo$U_p$ist das ponderomotorische Potential des Feldes, dh die mittlere Energie der Schwingungsbewegung. Sie sind auch ein komplettes Set, mit$\int |\Psi_p(t)⟩⟨\Psi_p(t)|\mathrm dp=1$Und$⟨\Psi_p(t)|\Psi_{p'}(t)⟩=\delta(p-p')$, was nett ist, aber es bedeutet auch, dass sie nicht die einzig mögliche Floquet-Basis als irgendeine lineare Kombination von sind$|\Psi_p(t)⟩$Und$|\Psi_{\pm\sqrt{p^2+2n\omega}}(t)⟩$,$n\in\mathbb Z$, ist ebenfalls ein Floquet-Zustand. Die Floquet-Mannigfaltigkeit ist also entweder ein großes Kontinuum oder mehrere überlappende Kontinua, die angesichts der üblichen Floquet-Leiter-Entartung äquivalent sind.

• Nehmen Sie für ein diskretes Spektrum einfach einen beliebigen endlichdimensionalen Hilbert-Anfangsraum$\mathcal{H}$und fügen Sie einen beliebigen periodischen Hamiltonian hinzu$H(t)=H(t+T)$. Dann die Quasienergien$\varepsilon$(oder eher die potenzierte Form$e^{i\varepsilon T}$) sind die Eigenwerte des Einperiodenpropagators$U(t_0+T,t_0)$für jede Startzeit$t_0$, wo der Verbreiter gehorcht$i\partial_t U(t,t')=H(t)U(t,t')$Und$U(t,t')=1$. Seit$U(t_0+T,t_0)$ist ein endlichdimensionaler Operator$\mathcal H$, kann es nur einen diskreten Satz von Eigenwerten haben.

  Ich kann Sie murren hören und sagen, dass das Betrug ist und dass man ein "natürliches" Problem mit diskretem Spektrum nehmen und zeigen sollte, dass seine Floquet-Quasienergien immer noch diskret sind. Für einige Beispiele dieser Art siehe zB Commun. Mathematik. Phys. 177 nr. 2, 327 (1996) .

Sie können sich eine Floquet-Energie ähnlich wie einen Bloch-Zustand vorstellen. Da der Raum periodisch ist, wiederholen sich im letzteren Fall die Impulszustände bei jedem reziproken Gittervektor,$\textbf{G}$. Da die Zeit für einen Floquet-Zustand periodisch ist, werden Energiezustände alle wiederholt$n\hbar \omega$Wo$n$ist eine ganze Zahl und$\hbar \omega$hängt von der Zeit ab,$\tau$(Wo$\tau$im Experiment ist die Zeit zwischen den Laserpulsen).

Hier ist ein Bild aus dem beigefügten Dokument, falls Sie es nicht sehen können, aber ich empfehle dringend, das folgende Dokument zu lesen, wenn Sie an Floquet-Staaten interessiert sind. Sie können (kaum) im Bild unten sehen, dass der Dirac-Kegel (der ohne besonderen Grund als das hier untersuchte System ausgewählt wurde) bei mehreren Werten von wiederholt wird$\hbar \omega$ober- und unterhalb des "eigentlichen" Dirac Cone an$n=0$. Du kannst das ... sehen$n=1$,$n=2$, Und$n=-1$sagt ziemlich deutlich.

Siehe das Papier hier:

https://www.sciencemag.org/content/342/6157/453?related-urls=yes&legid=sci;342/6157/453