Wann liefert ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 einen gültigen Übergang von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik? Wann und warum scheitert es?

Die Theorie der Deformationsquantisierung bietet einen Rahmen, in dem der Quanten-zu-Klassik-Übergang durchgeführt und verstanden werden kann.

Gemäß dieser Theorie kann man für (praktisch jedes) Quantensystem (möglicherweise nicht eindeutig) eine Poisson-Mannigfaltigkeit finden$\mathcal{M}$(Phasenraum) mit einem assoziativen Produkt namens "Sternprodukt" ausgestattet, so dass die Quantenobservablen durch glatte Funktionen dargestellt werden$\mathcal{M}$und das Quantenoperatorprodukt ist durch das Sternprodukt gegeben.

Außerdem hat das Sternprodukt zweier Funktionen eine formale Potenzreihe in$\hbar$

$f\star g = \sum_{k=0}^{\infty} \hbar^k B_k(f,g)$

So dass:

$B_0(f,g) = fg$

$B_1(f,g)-B_1(g, f) = \{f,g\}$, (Poisson-Klammer)

Somit erhalten wir:

$f\star g - g\star f = \hbar\{f,g\} + \sum_{k=2}^{\infty} \hbar^k (B_k(f,g)-B_k(g,f))$

Bitte beachten Sie, dass die Quantenobservablen gemäß der Deformationsphilosophie nur Funktionen im Phasenraum sind, genau wie die klassischen Observablen, und dass die gesamte Quantennichtkommutativität durch das Sternprodukt bereitgestellt wird. Wenn wir also definieren$\hat{f} = \frac{\hbar}{i} f$, erhalten wir den geforderten klassischen Grenzwert.

Es sei betont, dass dieses Verfahren sogar für Quantensysteme durchgeführt werden kann, die durch Matrixalgebren definiert sind, zum Beispiel ist eine geeignete Phase für den Spin die Zwei-Sphäre$S^2$, lesen Sie bitte den folgenden Artikel von Moreno und Ortega-Navarro. Außerdem,

Kontsevich lieferte in seiner wegweisenden Arbeit eine konstruktive Methode, um dieses Sternprodukt auf jeder endlichdimensionalen Poisson-Mannigfaltigkeit zu konstruieren. Bitte beachten Sie die folgende Wikipedia-Seite .

Erwähnenswert ist auch, dass es Bestrebungen gibt, die Deformationskonstruktion auf Feldtheorien zu verallgemeinern und die Renormierung darin einzubauen, siehe die folgende Arbeit von Dito.

Zu den anderen Antworten möchte ich ein wichtiges Detail hinzufügen: Das Limit$\hbar \rightarrow 0$ist nur eine bequeme Art zu berechnen. Was wirklich passiert, ist das$S[x] \gg \hbar$oder gleichwertig$\frac{S[x]}{\hbar} \to \infty$. Also die Begründung, warum man im Pfadintegral die klassische Physik im Limes erwartet$\hbar \to 0$ist, dass alle Wege jenseits des klassischen Extremwegs zu Tode oszillieren. So$\hbar \to 0$ist nur eine bequeme Art der Berechnung, wirklich wichtig ist die Größe der Aktion. In Fällen, in denen die klassische Physik gilt, haben nicht-extreme Pfade viel größere Wirkungen, wobei viel größer in Einheiten von gemessen wird$\hbar$, dh um genau zu sein:

Das klingt vernünftig.

Mein ziemlich grobes Verständnis ist, dass (wenn es eine klassische Aktion für den Übergang gibt) an der Grenze nur die Nachbarschaft der klassischen Aktion beiträgt. Der Beitrag der klassischen Handlung selbst behauptet, Maß zu haben$0$relativ zum Beitrag der Nachbarschaft, selbst wenn die Grenze genommen wird (wobei diese Nachbarschaft zu "Größe" oder "Ausbreitung" geht)$0$.)

Wenn es keine klassische Aktion für den Übergang gibt, dann scheitert das Ganze sowieso.

In der Operatorsprache der Quantenmechanik führt man den Grenzwert nicht (blind) durch$\hbar \rightarrow 0$in den Bewegungsgleichungen (der Schrödinger-Gleichung), aber erweitern Sie die Zustände als Potenzreihen in$\hbar$. In erster Reihenfolge:$\psi(x) = a(x) e^{S(x)}$. Setzt man diesen Ausdruck in die Schrödinger-Gleichung ein, erhält man (in erster Ordnung) die klassische Hamilton-Jacobi-Gleichung. Siehe zum Beispiel: http://en.wikipedia.org/wiki/WKB_approximation#Application_to_Schr.C3.B6dinger_equation oder Bates, Weinstein: Vorlesungen über die Geometrie der Quantisierung für eine geometrische Interpretation