Klassische Grenze der Quantenmechanik

Die kurze Antwort: Nein , die klassische Mechanik wird nicht wiederhergestellt$\hbar \rightarrow 0$Grenze der Quantenmechanik.

Das Papier Was ist die Grenze$\hbar \rightarrow 0$der Quantentheorie? (Zur Veröffentlichung im American Journal of Physics angenommen) fanden das heraus

Unser Endergebnis ist dann, dass NM zumindest durch einen mathematischen Begrenzungsprozess nicht aus QT gewonnen werden kann$\hbar \rightarrow 0$[...] haben wir mathematisch gezeigt, dass Gl. (2) folgt nicht aus Gl. (1).

„NM“ bedeutet Newtonsche Mechanik und „QT“ Quantentheorie. Ihre "Gleichung (1)" ist eine Schrödinger-Gleichung und "Gleichung (2)" sind Hamilton-Gleichungen. Seite 9 dieses neueren Artikels (von mir) befasst sich genau mit der Frage, warum keine Wellenfunktion im Hilbert-Raum eine klassische Delta-Funktionswahrscheinlichkeit geben kann.

Die klassische Grenze wird nur erreicht, wenn sich das Quantensystem in ausreichend schönen Zuständen befindet. Die Zustände, in denen der klassische Grenzwert sinnvoll ist, nennt man kohärente Zustände. Beispielsweise werden die kohärenten Glauber-Zustände eines anharmonischen Oszillators durch die klassischen Phasenraumkoordinaten gekennzeichnet$(q,p)$.

Wenn sich das System in einem kohärenten Zustand befindet, dann für jede Observable$A$mit$\langle A\rangle = \overline A$, die Varianz$\langle (A- \overline A)^2 \rangle$Zehn zu Null in der Grenze$\hbar\to 0$. Außerdem reduziert sich die Dynamik im Grenzbereich zu der eines klassischen Systems auf den entsprechenden Phasenraum.

Für den kohärenten Glauber-Zustand hängt dies mit der klassischen Grenze der Wigner-Funktionen zusammen; siehe zB
http://www.iucaa.ernet.in:8080/xmlui/bitstream/handle/11007/206/256_2009.PDF?sequence=1
Aber die obige Aussage kann für viele Klassen von kohärenten Zuständen und viele bewiesen werden Phasenräume, nicht nur für kohärente Glauber-Zustände. Für den Fall kohärenter Zustände im Zusammenhang mit der Berezin-Quantisierung siehe zB https://arxiv.org/abs/math-ph/0405065

Es gibt eine große Anzahl häufig zitierter Artikel über die klassische Grenze, z
. Quantenpartitionsfunktionen/cmp/1103907536.full
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103859623

Wenn es einen wirklich interessiert , erklärt dieser Aufsatz von Lubos Motl , wie aus quantenmechanischen Feldern klassische Felder entstehen.

Ich zitiere die Einleitung:

Nach einer sehr kurzen Zusammenfassung der Regeln der Quantenmechanik stelle ich den weithin gelehrten „mathematischen Grenzwert“ vor, der auf der Kleinheit des Planckschen Wirkungsquantums basiert. Das erklärt jedoch nicht wirklich, warum uns die Welt klassisch erscheint. Ich werde zwei etwas unterschiedliche Situationen diskutieren, die jedoch fast jedes Beispiel einer klassischen Logik abdecken, die vom Quanten-Ausgangspunkt ausgeht:

1. Klassische kohärente Felder (z. B. Lichtwellen), die als Zustand vieler Teilchen (Photonen) auftreten

2. Dekohärenz, die uns dazu bringt, absorbierte Teilchen als punktartige Objekte zu interpretieren, und die generische Überlagerungen makroskopischer Objekte für wohldefinierte Fragen zu klassischen Fakten ungeeignet macht

Der Link von Qmechanics veranschaulicht den klassischen Grenzwert der Schrödinger-Gleichung gut.

Zu Ihrer Frage zur Position: Es ist möglich, die Position in der Quantenmechanik mit beliebiger Genauigkeit zu erhalten. Das Problem ist, dass die Unschärferelation bedeutet, dass der Impuls unendlich unsicher wird. Wie$\hbar \rightarrow 0$Es wird möglich, sowohl die Position als auch den Impuls mit beliebiger Genauigkeit zu erhalten.

nein, die Wellenfunktion nähert sich im klassischen Grenzfall nicht der Deltafunktion. Das Wellenfunktionspaket breitet sich immer noch aus und verfängt sich mit der Umgebung. Was Lehrbücher Ihnen nicht sagen, ist, dass Sie Dekohärenz brauchen, um an die klassische Grenze zu gelangen.

Wenn Ihnen jemand gesagt hat, dass die klassische Physik die ℏ→0-Grenze der Quantenmechanik ist, liegt diese Person falsch. Ein Problem beim Versuch, die Ausbreitung der Wellenfunktion in der klassischen Grenze zu verstehen, indem man ℏ≈0 oder die Grenze ℏ→0 nimmt, ist, dass in Wirklichkeit ℏ≠0 ist. Wenn man den realen Nicht-Null-Wert von ℏ annimmt, gibt es Fälle von ganz gewöhnlichen Objekten, für die der Satz von Ehrenfest nichts wie klassisches Verhalten impliziert. Vielmehr breitet sich die Wellenfunktion dieses Objekts im Laufe der Zeit stark aus. Siehe die Arbeit von Zurek und Paz über die quantenmechanische Theorie der Umlaufbahn des Saturnmondes Hyperion:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9612037

Die klassische Grenze ist eigentlich ein Ergebnis der Dekohärenz und des Kopierens von Informationen aus „klassischen“ Objekten in die Umgebung:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0703160